同济版大一高数下第十二章第八节一般周期的

1高等数学第三十三讲2第八节一般周期的函数的傅里叶级数以2l为周期的函数的傅里叶展开第十二章3一、以2l为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2函数F(z)变量代换lxz将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式4设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中定理.l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n5证明:设f(x)周期为2l的周期函数lxz,则令)(zlf则))2(()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处))(xf变成是以2为周期的周期函数,xflxf)2(zlx6zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令xdlzdlxzlan1xlxnxflbllndsin)(1),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(n(在f(x)的连续点处)xlxnxflldcos)(证毕7说明:),2,1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有8例1：设函数f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(－1，1]上的表达式为：10010xxxxf将f(x)展开成傅立叶级数，并作出级数的和函数的图形.0121233xxf1解：2,1,012kkx处间断f(x)在间断点处的傅立叶级数收敛于121221kfkf21201在连续点处收敛于f(x)，其傅立叶系数为：f(x)如图所示，它在90a注：l=12110xdxna10cosxxdnx10sin1xndxn101sinnxdxn1cos122nn]11[122nnnb10sinxxdnx11001coscos]xxdnxnxnnnnnn11cos1,2,1n,2,1n10010xxxxf10]sin)1(cos1)1([411122xnnxnnxfnnn,2,1,012,kkxx例1：设函数f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(－1，1]上的表达式为：10010xxxxf将f(x)展开成傅立叶级数，并作出级数的和函数的图形。xS0121233x10a21na2211nnnbnn1111例2.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有2oyx2022xbnxxnd2sin220022coscos22nxnxxdxnnnncos414)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在x=2k处级数收敛于何值?122oyx(2)将作偶周期延拓,2022xanxxnd2cos202sin2nxxdn1)1(422nnxxf)(200d22xxa则有22181(21)1cos(21)2kkxk)20(x222cos02nxn13例3期的傅立叶级数,并由此求级数(91考研)解:y1ox12为偶函数,1)1(222nn因f(x)偶延拓后在展开成以2为周]1,1[x的和.故得14得故8)12(1212kk121nn62]1,1[x由此求级数的和.15为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20a(x间断点)其中xlxnxfllldcos)(1xlxnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出16思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.,,时nnbakkba或则必须单独计算.