同济版大一高数下第七章第三节齐次方程

1主讲教师:王升瑞高等数学第三十讲2齐次方程第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第七章3一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得),(dduxuxuxxuuud)(dxxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:lnCx说明:有些一阶方程虽然不是可分离变量型,但可以根据方程的特点通过对未知函数作适当的变量代换,而化为可分离变量的方程.一阶齐次方程就是此类方程。uuxux)(dd4例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,,dxduxudxdyxuy则代入原方程得uudxduxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分得,lnsinlnxCuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)xxuuddsinsin5例2.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,ln1lnxCuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.6例3.解微分方程解:22ddyxyxyx方程变形为uyxyxu令代入上式并整理后则有2yxyxydudyuydxd2uydudy分离变量并两边同时积分有：ydyuud21lnCyu通解lnyCyx7求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnlnsinCxuxCxylnsin微分方程的解为解例4，则udxxdudyxuy8.)(2的通解求yxdxdy解,uyx令1,dydudxdx代入原方程,12udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy例5xdudu211dxdudxdy92222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy,xyu令则,1222uuuuuxu.2222xyydyyxyxdx求解微分方程解例61[lnln2]ln1ln,2uuuCx.2(1)uCxuu微分方程的解为2()(2).yCyxyx1111[()],221dxduuuux21(1)(2)uudxduuuux10(h,k为待*二、可化为齐次方程的方程)0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,,dd,ddYyXx则原方程化为ckbha111ckbha令,解出h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.11,.211时当bbaa原方程可化为1)(ddcybxacybxaxy令,ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程)0(212cc)0(b12例6.求解解:04khYXYXXYdd得再令Y＝Xu,得令06kh5,1kh得XXuuudd112令hxky11ddXYuuXuXu11dd积分得uarctan)1(ln221uXCln1315arctanxy2151ln21xy)1(lnxC得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量,得原方程的通解:令,5,1yYxXY＝Xuhxky5,1kh14P3091(1),(4),(6);2(2),(3);3;4(2)作业