同济版大一高数下第七章第九节常系数非齐次线性微分方程

1主讲教师:王升瑞高等数学第三十八讲2常系数非齐次线性微分方程第八节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)([)(型]sin)(~xxPn二、第七章一、型)()(xPxfm三、3)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法4一、型)()(xPxfm02qprr特征方程项方程中含y.1xQym*)0(q项方程中不含y.2)0(＝qxQxym*项方程中不含yy,.3)0(＝qpxQxym2*令：令：令：其中mmmmmbxbxbxbxQy22110*xQm是x的m多项式5例1.的通解.解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程:比较系数,得31,1BA于是所求特解为对应齐次方程的通解为：xxeCeCY321再求y*,通解为*yYyxxeCeC3216例2：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为对应齐次方程的通解为：xeCCY221再求y*,代入方程整理得:矛盾！问题是y*所设，本题与例1的区别在于题中缺y项。BAxxy*BxAx2设BxAy2*Ay2*7将代入原方程45,43BA于是所求特解为通解为*yYy*,*yyxecc221若有初始条件1000xxyy求特解4523222xecyx将初始条件代入整理得210cc45212c898921cc特解为)1(892xey比较系数,得8例3：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程:113,318AB于是所求特解为)2sin2cos(212xCxCeYx再求y*,通解为*yYy9例4.求解定解问题0)0()0()0(123yyyyyy解:本题特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为*y代入方程得12b故,21*xy0321CCC21322CC,2,1,0321rrr1CYxeC2xeC23原方程通解为x211CyxeC2xeC23由初始条件得0432CC,xb41143321CCC解得10于是所求解为xeeyxx2141432原方程通解为解得)423(412xxeexx211CyxeC2xeC2341143321CCC例4.求解定解问题0)0()0()0(123yyyyyy11)([xQex)()2(xQp])()(2xQqp)(xPemx二、型)()(xPexfmx为实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中为待定多项式,)(xQ])()([*xQxQeyx])()(2)([*2xQxQxQeyx代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为.)(*xQeymx为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式12(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,,02p)(xQ则是m次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结对方程①,)2,1,0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)(xPm)()(2xQqp即即当是特征方程的k重根时,可设特解13例1：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程比较系数,得:5A于是所求特解为xxeCeCY321再求y*,通解为*yYyxxxeeCeC2321514例2.的通解.解:本题特征方程为,0342rr其根为设非齐次方程特解为xexAy3*25A特解为.*325xexy代入方程比较系数,得所求通解为,3若设非齐次方程特解为xeAy3*代入方程比较系数,得50矛盾(9123)5A031rr15例3.求方程xexyyy265的通解.解:本题特征方程为,0652rr其根为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxaxy2)(*比较系数,得12a02ba1,21ba因此特解为.)121(*2xexxy3,221rr代入方程得xabxa22所求通解为223121()2xxyCxxeCe,222()xaxbxe16例4：求满足且在原点处与直线xy相切的曲线表达式。解:特征方程为设所求特解为代入方程整理得比较系数,得0B于是所求特解为xexCCY321)(再求y*,通解为*yYyxexxCC3321)6(17由题意可得初始条件：1000xxyyxexxCCy3321)6(00xy代入01C10xy代入323221(3)22xxyCxCxe12C所求曲线方程为：xexxy33)6(例4：求满足且在原点处与直线xy相切的曲线表达式。xexxCCy3321)6(18例5：求12aaeyyyxx一个特解。解：,0122rr,0)1(2r设xaAey1ln*代入方程xaeay1ln2ln1*可见通解:xxxaeaeCCy221ln1xxaexfxae)1(ln12,1r19三、xBxAeqyypyxsincos具有如下形式的特解)sincos(*xbxaexyxk其中a,b为待定系数。k的取法规则是：ir2,1取0kir2,1取1k对应齐次方程的特征方程的特征根02qrpr上述结论也可推广到高阶方程的情形.可以证明型xBxAexfxsincos)(20例1.的通解.解:特征方程为,092r其根为比较系数,得因此特解为)3sin33cos5(*xxxy代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为为特征方程的根,因此设非齐次方程特解为21例2求微分方程xeyyyxcos23的通解。特征方程0232rr0)2)(1(rr特征根2121rrii1设)sincos(*xbxaeyx]sin)(cos)[(*xbaxbaeyx)sincos(2*xaxbeyx将***,,yyy代入原方程，整理后并约去非零因式.xexxeCeCY221解22比较两端的同类项系数，得1505baba101101ba方程的特解)sin(cos101*xxeyx方程的通解*yy得xxbaxbacoscos5sin5xxeCeC221)sin(cos101xxex例2求微分方程xeyyyxcos23的通解。2325sin2.yyyx例3求下列微分方程的通解特征根:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为代入方程可得174171,BA原方程通解为)2sin2cos(21xCxCeyx解特征方程0522rr24例4.且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(.)(xf求提示:,)()(sin)(00xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxfxtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得25).2cos(214xxyy求解方程解特征方程,042r,22,1ir.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为.*2*1*yyy例524xyyxyy2cos214原方程分为;81*1xy),2sin2cos()2(*2xdxcxy设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy，得代入xyy2cos21426故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy,2cos212sin42cos4xxcxd由，04c，214d即，81d，0c;2sin81*2xxy).2cos(214xxyy求解方程例527例6求xyy2cos4的通解。解：xx2cos2121cos2xyy2cos21214042rir2xCxCY2sin2cos21xyy2cos214214yy由81*1y由iir2设)2sin2cos(*2xBxAxy代入上式整理得：xxAxB2cos212sin42cos4810BAxxy2sin8*2通解：**21yyYyxxCxC2sin82cos812128例7.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r比较系数,得9431,da于是求得一个特解13a043cb03c043ad0cb29的特解形式写出例54382xxyy练习通解形式写出例xexxyy)3(292)(2*cbxaxxyxxecbxaxeCCy)(222130内容小结xmexPyqypy)(.1为特征方程的k(＝0,1,2)重根,xmkexQxy)(*则设特解为]sincos[.2xBxAeyqypyx为特征方程的k(＝0,1)重根,ixkexy*则设特解为]sincos[xbxa3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.31作业P3471(1),(5),(6),(10);2(2),(4);632例6.求微分方程xeyyy44的通解。(其中为实数).解:特征方程,0442rr特征根:221rr2时,,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为2时,,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为33例10解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根xexyyxsin3)2()4(利用叠加原理,可设非齐次方程特解为)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: