电磁波第四章作业题解答

第四章恒定电流的磁场作业题解答4-1．求如图所示各种形状的线电流I在P点产生的磁通密度矢量（假设介质为真空）。解（1）首先计算半径为a的通电圆形电流回路在轴线上任一点的磁通密度矢量。选取柱坐标系，电流回路放置于XY平面，轴线与Z轴重合，如图4—1（a）所示。根据比奥—莎伐尔定律，线电流分布圆环轴线上任一点的磁通密度矢量为题4-1图（a）由图可知代入积分式，有又则积分所以当z=0时，圆环电流中心处P点的磁通密度矢量为（2）对于如图4—1（b）所示的电流回路，可分三个部分进行计算：左边半无限长电流线、半圆环电流线和右半无限长电流线。对于两半无限长电流线，有题4-1（b）图由比奥—莎伐尔定律可知，两半无限长电流线在P点产生的磁通密度矢量B为零。对于半圆环电流线，由（1）有得到第一项积分为而第二项积分为题4—1（c）图所以，当z=0时，圆环中心处P点的磁通密度矢量为（3）对于如图4—1（c）所示的电流回路，也可分三个部分进行计算，左边两半无限长电流线和右半圆环电流线。对于两半无限长电流线，有由比奥—莎伐尔定律可知，两半无限长电流线在P点产生的磁通密度矢量B为可见上、下两半无限长电流线在P点产生的磁通密度矢量大小相等、方向相同。由积分公式可得半圆环电流的磁场与（2）相同，即则整个电流回路在P点产生的磁通密度矢量为4-2．真空中载流长直导线旁有一等边三角形回路，如图所示，求通过三角形回路的磁通量。题4-2图解在柱坐标系下无限长载流导线周围的磁通密度矢量为则通过三角形回路的磁通量为建立如图所示的直角坐标系，利用点斜式得到AB和AC边的直线方程分别为又4-6．（文献[11]、P122）已知某电流在空间产生的磁矢位是求磁通密度矢量B。解根据磁通密度矢量与矢量磁位之间的关系有4-8．边长为a和b的小矩形回路，通有电流I，如图所示。求远处一点P(x,y,z)的磁矢位。题4-8图解根据线电流分布的矢量磁位表达式可把闭合电流回路分为四段：、、和，分别计算四段线电流在P点产生的矢量磁位，然后进行矢量叠加。对于段，有同理，有因此，P点的矢量磁位为对上式中被积函数两项进行有理化，有在近似条件下，得到由于，略去该项，有由柱坐标系与直角坐标的关系式代入得到又由柱坐标与直角坐标单位矢量之间的变换关系最后得到4-11．一个电流为I1的长直导线和一个电流为I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，证明两电流间相互作用的安培力为题4-11图解如图所示，可写出无限长载流导线产生的磁通密度矢量为利用安培定律可知，圆环上关于X轴的对称点A和A′，由于ρ相同，力和在垂直方向的分力大小相等，方向相反。同样，对称点B、B′，由于由于ρ相同，力和在垂直方向的分力大小相等，方向相反。所以，在垂直方向，两电流线间的作用力为零。但是，因为A、A′和B、B′点的ρ不同，因而在水平X方向的力不为零。由图可知积分，有查积分表得到又则负号表示力的方向沿负X方向。4-12．在XY平面上沿+X方向有均匀面电流JS，如图所示。如果将XY平面视为无穷大，求空间任一点的磁场强度矢量H。解将面电流JS看成是通电流的无限长细导线排列而成，如图所示。由比奥—莎伐尔定律知，无限长通电导线产生的磁场没有X分量。另外，在X方向两个对称线电流产生的磁场在空间点叠加，磁场的Z分量相互抵消。因此，在XY平面内沿X方向的面电流产生的磁场仅有Y分量，且XY面上、下两侧的磁场是大小相等，而方向相反。题4-12图取如图所示垂直于XY面的矩形闭合回路，根据安培环路定律，有则写成矢量形式，有4-15．如图所示，求长为l的两条传输线的自感（）。题4-15图解无限长载流导线产生的磁场具有柱对称性，选取如图所示坐标系，可写出两无限长载流导线产生的磁场为两传输线间平面上的磁场方向相同，有则穿过两导线间长为l的平面上的磁通为由于，取近似，有因此，两传输线单位长度的自感为4-20．均匀电流密度（A/m2）产生的磁矢量位为（1）应用矢量泊松方程验证此结论；（2）利用A的表达式求H；（3）应用J的表达式以及安培定律求H。解（1）由题可知，矢量磁位仅有Z分量，即且Az与z无关，则矢量泊松方程的分量方程为将Az代入得到而题4-20图显然，Az满足泊松方程，结论成立。（2）根据矢量磁位与磁通密度矢量的关系和有（3）由题知，电流均匀分布且仅有Z分量，因此，磁场分布具有柱对称性，如图所示。选取如图所示的圆形闭合回路，应用安培环路定律，有则即把柱坐标系与直角坐标系的关系代入式得到再利用柱坐标与直角坐标单位矢量间的变换关系有显然，与用矢量磁位得到的结果相同。