海洋中的声传播理论

第3章海洋中的声传播理论声场常用分析方法波动理论（简正波方法）研究声信号的振幅和相位在声场中的变化，它适用低频，数学上复杂、物理意义不直观的声场分析方法。射线理论（射线声学方法）研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，适用于高频，但数学上简单、物理意义上直观的声场分析方法。水声学第3章海洋中的声传播理论2水声学第3章海洋中的声传播理论3声场常用分析方法3.1波动方程和定解条件海水介质中小振幅波运动方程、连续性方程和状态方程（声速和密度不随时间改变）：1、非均匀介质中的波动方程upt0utdcdP2tctp2210puct2222110pppct水声学第3章海洋中的声传播理论43.1波动方程和定解条件2222110pppct当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式有何不同?012222tpcp水声学第3章海洋中的声传播理论53.1波动方程和定解条件1、非均匀介质中的波动方程引入新变量：p222222113024ct水声学第3章海洋中的声传播理论63.1波动方程和定解条件1、非均匀介质中的波动方程考虑简谐波，则有：222t0,,22zyxK22221324Kk不是声场势函数，K不是波数，且均为三维空间函数。水声学第3章海洋中的声传播理论73.1波动方程和定解条件1、非均匀介质中的波动方程在海水中，与声速相比密度空间变化很小，将其视为常数，则有：zyxckK,,0,,22zyxk0,,22pzyxkpp水声学第3章海洋中的声传播理论83.1波动方程和定解条件1、非均匀介质中的波动方程如果介质有外力作用，例如有声源情况，则有：FzyxK,,22Fpzyxkp,,22Fzyxk,,22赫姆霍茨方程是变系数偏微分方程-泛定方程。水声学第3章海洋中的声传播理论93.1波动方程和定解条件2、定解条件物理问题所满足的具体条件。（1）边界条件物理量在介质边界上必须满足的条件。水声学第3章海洋中的声传播理论103.1波动方程和定解条件①绝对软边界条件：声压为零界面方程：tyxz,,界面声压：0,,,,,tyxztzyxp——第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布，则有：——第一类非齐次边界条件szxytpxyztp，，，，，水声学第3章海洋中的声传播理论113.1波动方程和定解条件②绝对硬边界条件：法向质点振速为零界面方程：tyxz,,界面振速：——第二类齐次边界条件如果已知边界面上的质点振速分布，则有：——第二类非齐次边界条件0zyxuuyuxunszyxuuuyuxun水声学第3章海洋中的声传播理论123.1波动方程和定解条件③混合边界条件：声压和振速线性组合——若a和b为常数，则为第三类边界条件spabpfsn若，则为阻抗边界条件：0sfnupZ注意负号的物理含义。水声学第3章海洋中的声传播理论133.1波动方程和定解条件④边界上密度或声速有限间断若压力不连续，压力突变或质量加速度趋于无穷；若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”。边界上压力和法向质点振速连续：边界条件限制波动方程一般解（通解）在边界上取值，不能完全确定波动方程的解。00sspp0011ssnpnp水声学第3章海洋中的声传播理论143.1波动方程和定解条件（2）辐射条件波动方程的解在无穷远处所必须满足的定解条件。当无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质，在无穷远处声场应趋于零。①平面波情况0jkxxftc=xct10水声学第3章海洋中的声传播理论153.1波动方程和定解条件②柱面波情况0limjkrrr0limjkrrr③球面波情况——也称为索末菲尔德（Sommerfeld）条件。水声学第3章海洋中的声传播理论163.1波动方程和定解条件（3）点源（奇性）条件对于点声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即0rptjAertpcp412222不满足波动方程；如果引入狄拉克函数来描述点源的奇性，它满足非齐次波动方程水声学第3章海洋中的声传播理论173.1波动方程和定解条件（3）点源（奇性）条件狄拉克函数的定义1000VrVrdVrV包含在体积内在体积以外水声学第3章海洋中的声传播理论183.1波动方程和定解条件（4）初始条件当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。水声学第3章海洋中的声传播理论193、定解条件总结绝对软边界绝对硬边界阻抗型边界间断型边界第一类边界条件第二类第三类0zp0zzpspabpfsn辐射条件平面波柱面波球面波0jkx0limjkrrr点源条件初始条件lim0rrjkr水声学第3章海洋中的声传播理论203.2波动声学基础波导模型：上层为均匀水层，下层为硬质均匀海底，海面和海底均平整。1、硬底均匀浅海声场声源—点源r0(0，z0)水深：H声速：c0边界—自由平整海面—硬质平整海底水声学第3章海洋中的声传播理论213.2波动声学基础由于问题圆柱对称性，则水层中声场满足柱坐标系下的波动方程：（1）波动方程0202241rrApkzprprrr在圆柱对称情况下，根据狄拉克函数定义可求得：0021zzrrrr水声学第3章海洋中的声传播理论223.2波动声学基础常数A与声源强度有关，不失一般性取A=1，则有：（1）波动方程020222221zzrrpkzprprrp令，由分离变量法可得：nnnzZrRzrp,222002212nnnnnnndRdRdZZRkZrzzdrrdrdzr水声学第3章海洋中的声传播理论233.2波动声学基础（1）波动方程函数满足某种形式的亥姆霍茨方程和正交归一化条件：nZz222020010nnnHnmdZkZdzmnZzZzdzmn是一个常数，称为分离常数。2n水声学第3章海洋中的声传播理论243.2波动声学基础（1）波动方程222002212nnnnnnndRdRdZZRkZrzzdrrdrdzr0HmZzdz220212nnnnndRdRRrZzdrrdrr水声学第3章海洋中的声传播理论253.2波动声学基础函数Zn(z)满足齐次亥姆霍茨方程，其解为：（2）函数Zn(z)及边界条件HzzkBzkAzZznnznnn0cossinAn和Bn为待定常数，由边界条件和正交归一化条件确定。220znnkk水声学第3章海洋中的声传播理论263.2波动声学基础根据边界条件：自由海面：硬质海底：00nZ0HzndzdZ0nB,3,2,121nHnkzn（2）函数Zn(z)及边界条件水声学第3章海洋中的声传播理论273.2波动声学基础nmnmdzzZzZHmn010HAn2zkHzZznnsin2,3,2,121nHnkzn根据Zn(z)的正交归一化条件：（2）函数Zn(z)及边界条件水声学第3章海洋中的声传播理论283.2波动声学基础通常Zn(z)称为本征函数，kzn称为本征值，确定本征值的方程称为本征方程。（2）函数Zn(z)及边界条件kznkn22021Hncn220znnkk水声学第3章海洋中的声传播理论293.2波动声学基础由零阶贝塞尔方程，可得的解：rRnrHzkHjrHzZjrRnznnnn200200sin2（3）函数Rn(r)水声学第3章海洋中的声传播理论303.2波动声学基础（4）声场声压解声场中声压解：nnznznnnnnnnnrHzkzkHjrHzZzZjrRzZzrp200200sinsin2,水声学第3章海洋中的声传播理论313.2波动声学基础（4）声场声压解在远场，根据汉克尔函数渐近表达式：4202rjnrnnnerrH波导中点源辐射声场的远场解为：nrjznznnnrjnnnnnezkzkrHjezZzZrjzrp4040sinsin222,水声学第3章海洋中的声传播理论323.2波动声学基础（5）简正波满足波动方程和边界条件的波称为简正波。n阶简正波表达式：40sinsin22,rjznznnnnezkzkrHjzrp水声学第3章海洋中的声传播理论333.2波动声学基础（5）简正波•每阶简正波沿水平r方向传播的行波；•每阶简正波沿深度z方向作驻波分布；•不同阶数的简正波其驻波的分布形式不同。级数求和数目与波传播的频率和层中参数有关。40sinsin22,rjznznnnnezkzkrHjzrp水声学第3章海洋中的声传播理论343.2波动声学基础（6）波导截止频率简正波阶数最大值：取整数210cHN当简正波阶数nN时，水平波数变为虚数，简正波振幅随r作指数衰减。在远场，声场可表示成有限项：NnrjznznnnezkzkrHjzrp140sinsin22,22021Hncn水声学第3章海洋中的声传播理论353.2波动声学基础（6）波导截止频率临界频率：最高阶简正波传播频率HcNN021HcNfN2210声源激发频率时，波导中才存在第N阶及以下各阶简正波的传播。N水声学第3章海洋中的声传播理论363.2波动声学基础（6）波导截止频率截止频率：简正波在波导中无衰减传播的最低临界频率声源激发频率时，所有各阶简正波均随距离按指数衰减，远场声压接近为零。1Hc201Hcf401水声学第3章海洋中的声传播理论373.2波动声学基础（7）相速度和群速度相速：等相位面的传播速度（振动状态在介质中的传播速度）22021Hncn201nnpncc012ncnH不同阶简正波相速度不等的现象称为频散（弥散），浅海波导属于频散介质。水声学第3章海洋中的声传播理论383.2波动声学基础（7）相速度和群速度npnnpnngnddccddc201nngncddc简正波的群速小于相速。群速：声波能量的传播速度201nnpncc水声学第3章海洋中的声传播理论393.2波动声学基础（7）相速度和群速度20cccgnpn水声学第3章海洋中的声传播理