无穷级数的概念和性质

第一节无穷级数的概念和性质一、无穷级数的概念二、级数的基本性质一、无穷级数的概念定义9.1对于数列u1,u2,···,un,···，用“+”号将其连接起来，得u1+u2+···+un+···,简记为.称其为无穷级数，简称级数，称其第n项un为通项或一般项.1nnu无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加”运算？“相加”的结果是什么？定义9.2称为级数的前n项和.简称部分和.121(=1,2,)nniniSuuuun1nnu由此可由无穷级数，得到一个部分和数列1iiu，,,,,21nSSS若存在，则称级数收敛，并称此极限值S为级数的和，记为.若不存在，则称级数发散.SSnnlim1nnuSunn1nnSlim1nnu定义9.3若收敛，则称1nnu21nnnnuuSSr为级数的余项.1nnu),2,1(0nun定义9.4若中每项皆为数，则称为数项级数.1nnunu1nnu若，则称为正项级数.1nnu例1试判定级数的收敛性.111111innu解所给级数的前n项和,111111nuSniniin,limlimnSnnn因此所给级数发散.11111n例2判定级数的收敛性.12111nnnrrrr解此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1，则所给几何级数转化为例1，可知其发散.若，所给级数前n项和1r.11111112rrrrrrrrSnnnn当|r|1时，，因而，即级数收敛，且其和为.01limrrnnrSnn11lim11nnrr11当|r|1时，，因而不存在，即级数发散.rrnn1limnnSlim11nnr当r=–1时，其前n项和.,1,0为奇数为偶数，nn1)1(1111nnS.111111nnrnnSlim可知不存在.因此发散.11)1(nn.1||,,1||,1111rrrrnn发散收敛，且和为综合上述，可知例3判定级数的收敛性.1)12)(12(2nnn)12)(12(2532312nnSn解所给级数的前n项和,11211limlimnSnnn可知故所给级数收敛，且和为1.121121715151313111nn,1211n二、级数的基本性质性质1(1)若级数收敛，其和为S，又设k为常数，则也收敛，且和为kS.1nnu1nnku(2)若发散，且k≠0，则必定发散.1nnu1nnku1nnu证(1)设，由于收敛，因此应有.nnuuuS21SSnnlim,)(2121nnnnkSuuukkukuku又设由极限的性质可知,limlimlimkSSkkSnnnnnn即收敛，且其和为kS.1nnku1nnku故发散.(2)用反证法.若设收敛，则由(ⅰ)知亦收敛，矛盾.1nnku11)(1nnnnukuk,01kunn收敛，例4判定级数的收敛性.)0(11aarnn解由例2与性质1可知.1||,,1||,111rrraarnn发散为性质2若收敛，其和为S；收敛，其和σ，则必收敛，其和为.1nnu1nnv1)(nnnvuS推论若收敛,发散,则必定发散.1nnu1nnv1)(nnnvu例5判定的收敛性.1113521nnn解注意到与皆为几何级数，其公比分别为与，11113521nnnn3121rr由例4可知与皆收敛，且11113521nnnn,221112111nn,21531153511nn由性质8.2可知收敛，且其和为.1113521nnn2192152性质3在中去掉或添加有限项，所得新级数与原来级数的收敛性相同.1nnu证在中去掉或添加有限项所成新级数记为，当项数给定之后，两者的部分和之差是一个常数，因此这两个部分和同收敛或同发散.所以两个级数的收敛性相同.1nnu1nnv性质8.3表明，级数的收敛性，与其前面有限项无关，而是取决于n充分大以后的的状况.1nnunu例6判定的收敛性.n21212143解级数为等比级数，公比，21rn21212121211432.21212143收敛n由性质8.3可知.21212121211432收敛因此n性质4收敛级数添括号后所得新级数仍收敛，且其和不变.证若收敛.任意添括号得到一个新级数，如nuuu21).()()(21321nmSuuuuuuuummmkn第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m项之和.由于，所以.因此SSmmlimSSnnlim,limlimSSmmnn即加括号之后所得新级数收敛，且和不变.注意收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级数.例如(1–1)+(1–1)+···+(1–1)+···收敛于0，但是去括号后可得新级数为发散级数.1)1(1111n(1)若收敛，发散，则必定发散.1nnu1nnv1)(nnnvu(2)若发散，也发散，则不一定发散.1nnu1nnv1)(nnnvu(3)若发散，则与不一定都发散.1nnu1nnv1)(nnnvu(4)若添号之后的级数发散，则原级数必定发散.(5)若发散，则添括号的新级数不一定发散.1nnu以下命题请给出证明或反例.性质5(级数收敛的必要条件)若收敛，则必有1nnu.0limnnu证这只需注意.由于收敛，因此.1nnu1nnnSSuSSSSnnnn1limlim，有必要指出，这个性质的逆命题不正确，即级数的通项的极限为零，并不一定能保证收敛.1nnu.0limlim)(limlim11SSSSSSunnnnnnnnn由极限的运算可知例7判定级数的收敛.解添括号得到新级数：n131211取其前n项(每个括号内算一项)，记其和为，则n项项项项2322112222121161161818141412121nnnn1619181514131211,2212121nn项可见，即添号以后的级散发散.因此原级数亦发散.因为如果原级数收敛，由性质8.4知，添号以后级数亦必收敛，从而矛盾.nnlimnnn13121111级数称为调和级数.调和级数的一般项，它满足但不收敛.nn1nun1,0limnnunnu利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知：若或不存在，则必定发散.这个性质可以作为判定级数发散的充分准则.nnnnuulim0lim1nnu例8判定级数的收敛性.214332nn解所给级数的通项，21nnun,0121limlimnnunnn可知为发散级数.214332nn例9思考题设级数为收敛级数，则下列级数收敛的有()1nnu;2.A1nnu;)2(.B1nnu;2.C1nnu..Dknnu分析由级数的基本性质8.1及题设条件可知A收敛.由级数的基本性质8.3可知C，D也收敛.综合之，本例应选A，C，D.由于收敛，由性质8.4(级数收敛的必要条件)可知，因此.由级数发散的充分条件可知发散.即B不收敛.1nnu0limnnu1)2(nnu02)2lim(nu