《计算电磁学》第二讲

4/11/20209:51:53AM1第二讲有限差分法Dr.PingDU(杜平)SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)E-mail:[e-mail]4/11/20209:51:53AM2x()fx()()ffxhfx它是函数的一阶差分。由于它是有限量的差，被称为有限差分。其与增量的商为一阶差商()()ffxhfxxh()fxxh(1)(2)微积分中一阶导数0()()hdffxhfxdxhlim(3)可以看出，h越小，(2)和(3)的值越接近。§2.1差分运算基本概念设函数，其自变量有一很小的增量,则该函数的增量为4/11/20209:51:53AM3()()()dffxfxhfxdxxh(前向差分)一阶导数也可近似表达为()()()dffxfxfxhdxxh(后向差分)或者，()()()2dffxfxhfxhdxxh(中心差分)(4)(5)(6)一阶导数可近似表示为它们对一阶导数的逼近度可通过Taylor级数展开式得到。4/11/20209:51:53AM4222()1()()()...2!dfxdfxfxhfxhhdxdx222()1()()()...2!dfxdfxfxhfxhhdxdx式(4)和(5)都略去了及更高幂次项。2h式(6)相当于将相应的Taylor公式333()2()()()2...3!dfxdfxfxhfxhhhxhdxdx的项及更高幂次项略去了。3h(7)(8)(9)由Taylor级数展开，式(6)的截断误差小于式(4)和(5)。因此，一般采用中心差分公式。4/11/20209:51:53AM5对二阶导数也可近似表达为差商的差商（二阶差商），如下22211()()()()()2()()xxdfdfdfdxxdxdxfxhfxfxfxhhhhfxhfxfxhh推导过程：由式(7)和(8)，有242424()2()()()2()4!dfxdfxfxhfxhfxhhdxdx当略去及更高幂次项，可得到式(10).4h(10)(11)4/11/20209:51:53AM6在上面的差分公式中，自变量x的微分为.在广义差分中，可取dxxh0,2(,)()hisfixeddxhhOh如1(,)heh有限差分法原理及步骤原理：有限差分法是利用差分原理，将电磁场连续域的问题变为离散系统的问题来求解。有限差分法分析电磁场边值问题，其步骤为：(12).4/11/20209:51:53AM7①采用一定的网格划分离散场域。常见的规则网格有正方形、矩形、平行四边形、等角六边形和极坐标网格等。②基于差分原理，对场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条件，也包括不同媒质分界面上的边界条件，进行差分离散化处理，给出相应的差分计算格式。③结合选定的代数方程组的解法，编写计算程序，求解由上所得对应于待求边值问题的差分方程组。所得解答即为边值问题的数值解。4/11/20209:51:53AM8§2.2二维电磁场Poisson方程的差分格式设在一个由边界C限定的二维场域D内满足Poisson方程22222(,)fxyxy图1场域D及矩形网格离散xyOCD1jj1j1ii1i(1,1)ij(1,)ij(1,1)ij(,1)ij(,)ij(,1)ij(1,1)ij(1,)ij(1,1)ij02413(2.2-1)4/11/20209:51:53AM9第一步:采用矩形网格离散场域D.点0对x的一阶偏导数可通过前向/后向差商得到，其为1001xh或0303xh可以看出，单侧差商误差较大。(2.2-2)(2.2-3)4/11/20209:51:53AM10为得到较精确的差分格式，引入待定常数、，对和进行Taylor级数展开，有1310302221313200()()1()()...2hhhhxx令项系数为0，得和满足220x2321hh将(2.2-5)代入式（2.2-4），并舍去高次项，可得的另一差分表达式0x2231013001313()()()hhxhhhh(2.2-4)(2.2-5)(2.2-6)4/11/20209:51:53AM11若，有13xhhh1302xxh推导二阶偏导数的差分表达式。令(2.2-4)中的项的系数为0，则0x和满足31hh将(2.2-8)代入式(2.2-4)，忽略三阶以上的高次项，可得2310130213130()()2()hhxhhhh(2.2-7)(2.2-8)(2.2-9)4/11/20209:51:53AM12若，有13xhhh21302202xxh与上面的类似，我们可以很容易地推导出2420240224240()()2()hhyhhhh若，有24yhhh22402202yyh(2.2-10)(2.2-11)(2.2-12)4/11/20209:51:53AM13将(2.2-9)、（2.2-11）代入式（2.2-1)，可得二维Poisson方程的差分表达式23101304202401313242400()()()()2()()(,)hhhhhhhhhhhhfxy当,，上式变为13xhhh24yhhh2130240220022(,)xyhhfxy可用节点的下标将上式写为1,,1,,1,,1,221122ijijijijijijijxyfhh这就是“五点差分格式”。(2.2-13)(2.2-14)(2.2-15)4/11/20209:51:53AM14当，有xyhhh21,1,,1,1,,4ijijijijijijhf当时(Laplace方程)，上式变为0f1,1,,1,1,40ijijijijij柱坐标系下的差分公式22222211rrrrrz柱坐标系下Laplace算子的公式(2.2-16)(2.2-17)(2.2-18)4/11/20209:51:53AM15如果是旋转对称的，则上式右边第二项为0.经过简单推导，可得222221rrrz0r012431h3h2h4hrz图2旋转对称场的不等距网格(2.2-19)4/11/20209:51:53AM16其差分表达式对不等距网格为03102424130224424030113011303132222()()22()()rhhhhhhrhhhhhhrhrhrhhhrhhh在等间距情形下，。令轴线处，点0位于第j(j1)行,则。。根据式（2.2-20），有1234hhhhh1j0(1)rjh02413114112(1)2(1)jj(2.2-20)(2.2-21)4/11/20209:51:53AM17若点0位于轴上，需特别处理。，。由罗必塔法则，1j0r0r22220001limlim/'rrrrrrrr这种情况下，Laplace方程变为222220rz(2.2-22)(2.2-23)4/11/20209:51:53AM18等间距情形时，差分格式推导2204222zh2130222rh由于旋转对称性，。则式（2.2-25）变为132102222rh(2.2-25)(2.2-24)(2.2-26)4/11/20209:51:53AM19将式（2.2-24）、（2.2-26）代入式（2.2-23），有22221020422012422022220640rzhhh经过化简，可得012464(2.2-27)(2.2-28)4/11/20209:51:53AM20Homework:1.Derive(2.2-20)or(2.2-21).4/11/20209:51:53AM21Thankyouverymuch!