第三章-哈密顿算子

第三章哈密顿算子哈密顿引进了一个矢性微分算子：称为哈密顿算子或算子。算子本身并无意义，而是一种微分运算符号，同时又被看作是矢量。ijkxyz其运算规则如下：,uuuijkuijkxyzxyzuugrad()div,xyzyxzAijkAiAjAkxyzAAAxyzA由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋度都可用表示。()()(),xyzyyxzzzijkxyzAAAAAAAAAijkyzzxxyrotAA此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进如下的一个数性微分算子它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在矢性函数B（M）上。如(),xyzxyzAiAjAkijkxyzAAAxyzA,xyzuuuuAAAxyzA应当注意这里与是完全不同的。现在我们把用表示的一些常见公式列在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数，A，B为矢性函数。,xyzAAAxyzBBBAB(1)()(2)(3)cucuAAAA（c）=c（c）=cAA（c为常数），（c为常数），（c为常数），(4)(5)(6)(7)(8)(9)uvuuuuuvuvvuccccABABABAB（uv）=（）=（）=（）=（）=（）=(10)()(11)()(12)(()()()(),uuuuuuAAAAAAABABAB+BABA）=（c为常矢），（c为常矢），2(13)()()()(14)()()()()()(15)()(16)()0(17)()0(18)()()uuuuABBAABABBAABBAABAAAA====（其中Δu为调和量）xyzAAiAjAk（其中）在下面的公式中,,rxiyjzkrr00(19),(20)3,(21)0,(22)()(),(23)(,),()(24)()(),rrrrrrfufuufffuvuvuvfrfrrfrrr（27）奥氏公式（28）斯托克斯公式3(25)[()]0,(26)()0(0),frrrrrddV,SASA()d.lSdAlAS例1证明证().uvuvvu()()()()()()()uvijkuvxyzuvuvuvijkxyzvuvuuviuvjxxyyvuuvkzzvvvuijkxyzuuuvijkxyzuvvu算子实际上是三个数性微分算子的线性组合，而这些数性微分算子是服从乘积的微分法则的，就是当他们作用在两个函数的乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个因子看作常数。因此作为这些数性微分算子的线性组合的，在其微分性质中，自然也服从乘积的微分法则。ijkxyz,,xyz明确这一点，就可以将例1简化成下面的方法来证明。证根据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有()()().ccuvuvuv()ccuvuvvuuvvu在上式右端，我们根据乘积的微分法则把暂时看成常数的量，附以下标c，待运算结束后，再将其除去。依此，根据公式（1）就得到例2证明证：根据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有()uuuAA+A()ccuuuAA+A().ccuuuAAAccuuuAAA()uuuAA+A由公式（2），（7）分别有所以例3证明证根据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有()()()ABBAAB()()()ccABABAB()()()abccabbca由矢量混合积的轮换性：将上式两端中的常矢都轮换到▽的前面，同时使得变矢都留在▽的后面()()()()()()()()().ccccccABABABABBABAABBAAB所以在▽算子的运算中，常常用到三个矢量的混合积公式这些公式都有几种写法，因此在应用这些公式时，就要利用它的这个特点，设法将其中的常矢都移到▽的前面，同时使得变矢都留在▽的后面。()()()abccabbca()()(),abcacbabc及二重矢量积公式例8验证格林第一公式与格林第二公式证在奥氏公式中，取并应用公式（10）有()()SuvdvuuvdVS()().SuvvuduvvudVSSddVASA,Auv同理将此两式相减，即得格林第二公式。()()().SuvduvdVuvuvdVS()(),SvudvuvudVSEnd祝学习愉快