2016-2017学年人教版高中数学选修2-2-模块综合测评

1模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A．－1B．1C．－2D．2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】B2．已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.【答案】B3．观察：6＋15211，5.5＋15.5211，4－2＋17＋2211，…，对于任意的正实数a，b，使a＋b211成立的一个条件可以是()A．a＋b＝22B．a＋b＝21C．ab＝20D．ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】B4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()【导学号：60030088】A．－eB．－1C．1D．e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋lnx，2∴f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】B5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．【答案】D6．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则()图1A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．【答案】A7．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.94e2B．2e23C．e2D.e22【解析】∵f′(x)＝ex，∴曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(0，－e2)，则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为12×1×e2＝e22.【答案】D8．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2【解析】由归纳推理可知，第k项的第一个数为ak－1，且共有k项．故选D.【答案】D9．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a1C．a2D．a≤13【解析】由题意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0.【答案】A10．设a＝01x－13dx，b＝1－01x12dx，c＝01x3dx则a，b，c的大小关系()A．abcB．bacC．acbD．bca【解析】由题意可得a＝01x－13dx＝32x23|10＝32；b＝1－01x12dx＝1－23x32|10＝1－23－0＝13；4c＝01x3dx＝x44|10＝14.综上，abc.【答案】A11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n－1增加的项数是()A．1B．2k＋1C．2k－1D．2k【解析】∵f(k)＝1＋12＋13＋……＋12k－1，又f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1.从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．【答案】D12．已知函数f(x)＝x3－ln(x2＋1－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则fa＋fba＋b的值为()A．恒正B．恒等于0C．恒负D．不确定【解析】可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(x2＋1－x)＋(－x)3－ln(x2＋1＋x)＝0，所以函数为奇函数，同时，f′(x)＝3x2＋1x2＋10，f(x)是递增函数，fa＋fba＋b＝fa－f－ba－－b，所以fa＋fba＋b0，所以选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．复数3＋ii2(i为虚数单位)的实部等于________．5【解析】∵3＋ii2＝－3－i，∴其实部为－3.【答案】－314．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】第n个等式左边为1到n＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215．曲线y＝sinx(0≤x≤π)与直线y＝12围成的封闭图形的面积为__________.【导学号：60030089】【解析】由于曲线y＝sinx(0≤x≤π)与直线y＝12的交点的横坐标分别为x＝π6及x＝5π6，因此所求图形的面积为π65π6∫sinx－12dx＝－cosx－12x＝3－π3.【答案】3－π316．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________.【解析】∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得f－1＝－13＋3m－12＋n－1＋m2＝0，f′－1＝3×－12＋6m－1＋n＝0，∴m＝1，n＝3或m＝2，n＝9，当m＝1，n＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾，6当m＝2，n＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11.【答案】11三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z＝1＋i2＋31－i2＋i，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．【解】z＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝3－i2－i5＝5－5i5＝1－i.因为z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b＝－2i＋a－ai＋b＝(a＋b)－(2＋a)i＝1＋i，所以a＋b＝1，－2＋a＝1，解得a＝－3，b＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．【解】(1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－62x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1.当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(2－1,2＋1)上是减函数；当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数．(2)由f(2)≥0，得a≥－54.当a≥－54，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3x2－52x＋17＝3x－12(x－2)＞0，所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上，a的取值范围是－54，＋∞.19．(本小题满分12分)设等差数列{an}的公差为d，Sn是{an}中从第2n－1项开始的连续2n－1项的和，即S1＝a1，S2＝a2＋a3，S3＝a4＋a5＋a6＋a7，……Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋…＋a2n－1，……若S1，S2，S3成等比数列，问：数列{Sn}是否成等比数列？请说明你的理由．【解】∵S1，S2，S3成等比数列，∴S1＝a1≠0，且S1·S3＝S22，由S1·S3＝S22，得a1(a4＋a5＋a6＋a7)＝(a2＋a3)2，即a1(4a1＋18d)＝(2a1＋3d)2,2a1d＝3d2.∴d＝0或a1＝32d.当d＝0时，Sn＝2n－1a1≠0，Sn＋1Sn＝2na12n－1a1＝2(常数)，n∈N*，{Sn}成等比数列；当a1＝32d时，Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋a2n－1＝2n－1a2n－1＋2n－12n－1－12d＝2n－1[a1＋(2n－1－1)d]＋2n－12n－1－12d＝2n－132d·2n－1＋a1－32d＝32d·4n－1≠0，Sn＋1Sn＝32d·4n32d·4n－1＝4(常数)，n∈N*，{Sn}成等比数列．8综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则{Sn}成等比数列．20．(本小题满分12分)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax3＋92x2－b(x∈R)，其中a，b∈R，若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.【导学号：60030090】【解】(1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m2＋2m＋30，即m2－2m－30，所以－1m3，又m∈Z，所以m＝0,1,2.而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，所以f(x)＝x4.(2)由(1)知g(x)＝14x4＋ax3＋92x2－b，则g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2]．这时，g(0)＝－b是唯一极值，所以a∈[－2,2]．21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝12an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【解】(1)由S1＝a1＝12a1＋1a1，得a21＝1，因为an0，所以a1＝1.由S2＝a1＋a2＝12a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1，由S3＝a1＋a2＋a3＝12a3＋1a3，9得a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－2.(2)猜想an＝n－n－1(n∈N*)．证明：①当n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak，即ak＋1＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，所以a2k＋1＋2kak＋1－1＝0.所以ak＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立．则①②知，n∈N*，an＝n－n－1.22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝aexlnx＋bex－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；