《由平行线截得的比例线段》教学设计

《4.2由平行线截得的比例线段》教学设计一、教学内容分析《由平行线截得的比例线段》是浙教版九年级上册第四章的第二节课。本节课要求掌握一个基本事实：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”。这个基本事实又被称为“平行线截割定理”。它属于客观存在的事实性知识，由于其证明过程比较复杂，在教学中对学生不作要求。因此教材中是以基本事实的形式进行呈现的，通过实验让学生感受，并没有给出严格的证明过程。然后教材通过两个例题的应用帮助学生巩固对定理使用条件和结论的认识，特别是例2要通过添加辅助线来满足定理使用的条件，体现了数学转化思想。二、教学目标1、知识与技能：能应用平行线截割定理找出比例线段并解决相关计算问题，能利用定理将线段任意等分。2、过程与方法：经历平行线截割定理的发现过程，能利用转化思想结合定理解决相应问题。3、情感态度、价值观：培养学生独立思考能力及团结协作意识，增强研究数学问题的信心。三、学情分析学生在学习本节课前已经学习了比例的基本性质、比例线段的概念，能根据线段的长度计算比例和利用比例计算相关线段的长度，具有利用转化思想解决问题的经验。要达成本节课的教学目标，学生需要具备从教学活动中发现并归纳出数学规律的能力；能根据比例线段计算相关线段的长度；在不满足定理使用条件的问题中，能先合理的创造定理使用条件，再利用定理解决问题。四、重点难点重点：学生在经历数学活动后发现和归纳出平行线截割定理。难点：例2的作法思路不易形成，是本节的难点。对于重点，教师可以设计合理的问题串来引导学生一步步发现平行线截割定理，通过互相讨论补充的形式帮助学生归纳出定理。对于难点，根据支架式教学策略，教师可以设计出更为特殊简单的支架型问题，帮助学生利用特殊到一般的思维过程形成例2的解题思路，以此来突破难点。五、教学策略根据以上分析，本节课将采取支架式教学策略和小组合作学习策略。本节课的定理需要学生去归纳发现，但学生发现问题与归纳小结的能力有差距，因此通过小组合作学习策略，让能力强的学生有更多的表现机会，通过生生互动让能力弱的学生也能获得成长。对于例2，学生很难想到应用平行线截割定理来解决，教师可让学生独立思考，充分讨论后，利用三角形中位线的基本图形来搭建支架，帮助学生一步步地发现解决问题的方法。六、教学过程（一）引入课题图1图2问①：如图1，已知△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，则是多少？AEEC问②：如图2，已知△ABC中，D是AB三等分点，DE∥BC，则是多少？问③：你们得出结果的的依据是什么？问④：你们认为依据的是中位线定理，那么中位线定理的条件和结论是什么？问⑤：有没有一个定理能证明我们对这两题的猜想？引入课题：《由平行线截得的比例线段》设计意图：学生在平时作业中已开始使用中位线定理的逆定理，但他们认为用的是中位线定理，这种错误是歪打正着，其实他们使用的是平行线截割定理。从熟悉的知识引入，既让学生觉得不那么陌生，又能使学生将新知识与自己原有的知识经验联系起来，解决它们之间的冲突，顺利地将新知纳入到已有的认知结构中，同时已有的认知结构也因新知识的加入而更加清晰和系统化。（二）探索新知教材是通过探究活动让学生直观的感受定理，显得太“浅”了。从最特殊的距离相等的一组平行线开始，然后减弱条件，到最后去掉距离相等，这个过程教材并没有动态的呈现。为了让学生能更充分的体验这个定理的发现过程，有必要“深挖”下去。1.平行线等距图3图4问①：我们一起来观察有横格线的练习簿页，如图3，这些横格线有什么特征？问②：在图4中画一条直线与横格线相交。这些横格线在每一条所画的直线上截得的线段有什么规律？问③：一条直线被一组等距的平行线所截得的线段相等。你能利用全等证明上述结论吗？（提示：过点A、B分别作直线BB，、CC，的垂线段AM、BN，再证明△ABM≌△BCN）。问④：我们再画一条直线与横格线相交，AE与A，E，是任意画的两条直线，分别与这组平行线依次相交于A，B，C，D，E和A，，B，，C，，D，，E，。比例式成立吗？呢？呢？为什么？问⑤：你还能再找出两组比例线段吗？问⑥：通过上述过程，我们发现了什么？两条直线被一组等距的平行线（不少于三条）所截，所得的对应线段成比例。2.平行线不等距问⑦：接着研究上面的图形，如果撤去CC，，成立吗？如果再撤去DD，，成立吗？为什么？通过这个问题，我们可以发现如果这一组平行线不等距，这个结论还是成立的。问⑧：那么对于更一般的不等距的情况，这个结论还成立吗？让我们通过几何画板来感受一下。如图5所示，通过几何画板的演示，我们发现上述结论中等距这个条件并不是必须的，因此我们可以把它去掉，得到新的结论：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，所得的对应线段成比例。这个结论我们是借助几何画板动态演示观察发现的，它的证明比较复杂，教材注重的是对这一基本事实的发现过程，而并非它的的证明，有兴趣的学生可以上网搜索相关资料进行研究。''''ABABBDBD''''ABABBEBEAEEC''''ABABBCBC''''ABABBDBD''''ABBDABBD图5设计意图：学生还不完全具备在数学活动中发现并归纳数学规律的能力，需要教师通过设计环环相扣的问题串，将难点知识分解为许多小问题，再现知识的形成过程，引导学生深入分析，帮助他们在思考问题的过程中迅速激发想象，在解决问题的过程中一步步去发现平行线截割定理。第一步设计问①问②问③，通过观察有横格线的练习簿页获得等距离的一组平行线可以等分线段的认识。第二步设计问④问⑤问⑥，把第一步作为第二步合情推理过程的说理依据（比如依据的是），来让学生认识这一基本事实的本质含义和它的合理性。但教材并未给出从等距的平行线到不等距的平行线所截得的线段成比例的过渡过程，使得学生对这个基本事实产生了疑问，故通过第三步增设问⑦问⑧，这种从特殊到一般的处理过程是符合学生的认知规律的，并且能使学生对定理的认识相对严谨。（三）例题讲解例1：如图6，直线123lll∥∥，直线AC分别交1l，2l，3l于点A，B，C；直线DF分别交1l，2l，3l于点D，E，F，问①：已知DE=2，EF=6，AB=3，你能求出BC的长吗？问②：如图7，不改变问①中的条件，你能求出BC的长吗？问③：如图8，若直线12ll∥，直线AC分别交1l，2l于点A，C；直线DF分别交1l，2l于点D，F，AC与DF交于B。已知，AB=3，你能求出BC的长吗？（提示：过点B作AD的平行线BH，则ADFCBH∥∥）。图6图7图8设计意图：对定理的掌握，需要通过练习来内化。教材例1直接将被截两条直线相交，与定理的发现过程衔接不紧密，因此将教材例1改编设计了问①，一开始给学生呈现一个比较简单的图形，起点较低，学生容易接受。经教学实践后，学生能顺利找到比例线段求解，增强了信心，使不同层次学生都能有效地参与到知识探究的过程中来。然后将教材例1编为问②，有了问①的铺垫学生会比较容易发现比例线段。问③虽不满足定理的使用条件，但可以通过添加平行线来满足使用条件，从而解决问题，这也体现了数学转化化归的思想，同时也为后面例2的解决做好准备。（四）巩固提高例2：已知线段AB，不通过测量把线段AB三等分。问①：引入课题前问了同学们两个问题，看看现在能不能解决？''''ABABBDBD1''12''2ABABBDBD，34BDBF图1图2如图1，已知△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，则是多少？如图2，已知△ABC中，D是AB三等分点，DE∥BC，则是多少？你们得出结果的的依据是什么？问②：如果在图2上过另一个三等分点F作平行线与AC相交于G，问E、G是否是AC的三等分点？为什么？问③：通过上述两个问题，你能解决例2了吗？（提示：由定理可得，当两条线段被一组平行线所截时，如果其中一条线段被平行线等分的话，另一条线段也同时被这组平行线等分）。作法：如图9，1．以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3。2．连结BA3，并过点A1，A2作BA3的平行线，依次交AB于点B1，B2，所以点B1，B2就是线段AB的三等分点。问④：不通过测量，你能把已知线段AB分成2：3的两条线段吗？（提示：可以先把线段五等分）。图9设计意图：通过本节课前面的学习，学生已经能够利用定理对课前的问题进行解答，顺着这个问题增加一问②，激发学生进一步的思考，为通过类比解决例2提供思路。问④是为了巩固学生解决例2的经验。从一个比较简单的问题出发，通过问题串对问题逐步推广与拓展，学生经历的是探索的过程，领悟的是类比的方法，得到的是归纳的成果，体验的是成功的喜悦。（五）提炼升华问①：通过本节课的学习，你学到了哪些新的知识？问②：通过本节课的学习，你掌握了哪些解题方法？问③：通过本节课的学习，运用到了哪些数学思想？问④：通过本节课的学习，你是否还有其他的收获？设计意图：设计开放式问题串，让学生从知识的角度、方法的角度、数学思想的角度入进去，通过电影回放式地回顾展开来，并做思维导图进行适当的整理再回首，同时提炼出两个常用基本图形：A形图和X形图，为后续的学习作好铺垫。而且也能让不同层次的学生在这些问题上有不同层次的施展。在教学中如果经常设置这样的环节，长此以往，学生将逐渐意识到反思总结的必要性。唯有反思、感悟，才能促进理解，从而更好地进行建构活动，实现良好循环。七、课后反思（一）问题的设计应有利于教学目标的实现教学目标是问题设计的方向。问题是否有利于教学目标的实现，这是问题设计应最先考虑的。要在教学主线上设计问题，力求目标达成与学生素养提升同步。因而要求设计的问题和解决问题的方法要具有普遍性和典范性。（二）问题的设计应有利于学生能力的发展学生是问题设计的对象，问题设计的“度”要符合绝大多数学生的认知水平，最大限度地调动他们思维的积极性。因而要求设计的问题要有针对性、典型性。比如，设计开放型问题，以培养学生的发散思维能力；设计探究型问题，以培养学生求异思维的能力；设计联想型问题，以培养学生联想思维的能力；设计互逆型问题，以培养学生逆向思维的能力。AEECAEEC（三）问题的设计必有利于教师素质的提升问题的设计要求教师能根据教学目标、重点、难点，把教学内容编织成一组组、一个个彼此关联的问题，使前一个问题作为后一个问题的前提，后一个问题作为前一个问题的继续，让每一个问题都能成为学生思维的阶梯。因而要求问题的设计必须基于对学生已有知识经验和教材内容的科学的全面分析。只有了解、熟悉、掌握学生的认知基础和教学目标要求，才能设计出促进学生感悟、诱发学习主动性的精彩问题。总之，问题串的设计是一门艺术，也是一门科学，更是一门学问。在教学中，教师要掌握好这把“金钥匙”，才能开启学生思维的大门，有效地保证教学过程的顺利进行，为帮助学生形成发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力创造条件。