动态最优化第4讲-变分法可变端点的横截条件

动态最优化方法——第4讲变分法可变端点的横截条件第四讲变分法可变端点的横截条件（一）固定端点的基本形式Max或MinS.T.：dttytytFyVT0,,给定）（AAy0给定）（ZTZTy,第四讲变分法可变端点的横截条件（二）可变终结点的形式Max或MinS.T.：一般横截条件：dttytytFyVT0,,给定）（AAy0自由）（TTyTyTy,0TTtyTtyyFTFyF第四讲变分法可变端点的横截条件（三）横截条件的推导假设是已知的最优终结时间在附近的任何时间表示为：极值曲线的邻近路径：其中：*T*TTdtdTTTTT有：*tptytytptyty**有：ty*),00自由不受限制（TyTpp第四讲变分法可变端点的横截条件（三）横截条件的推导目标泛函：改变为：最优化一阶条件：dttytytFyVT0,,dttptytptytFVT0**,,00ddV第四讲变分法可变端点的横截条件（三）横截条件的推导步骤1：依据定积分求导法则：令第1项为0，得欧拉方程0,,00TFTpFdtFdtdFtpddTTyTyTFdtFddVTtTtyTyyT第四讲变分法可变端点的横截条件（三）横截条件的推导步骤2：消去由于：从而有：步骤3：把表达式代入：得到一般横截条件：TpTTyTpyTTTyyTpTTp0TTtyTtyyFTFyF0TFTpFTtTty第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（1）垂直终结线（固定时间水平问题）垂直终结线意味着：横截条件：0TtyFAt=TT0yt0T自由固定，边界条件TTyTyTyyy,,0:0第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（1）垂直终结线（固定时间水平问题）例子：求下列泛函的极值曲线通解：把边界条件代入，得：TdtytyV022自由边界条件TyTy,2,40:21*CtCty40y402*Cy第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（1）垂直终结线（固定时间水平问题）横截条件：由通解得：得：极值曲线：02TyFTty1*Cty01*CTy4*ty第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（2）水平终结线（固定端点问题）垂直终结线意味着：横截条件：0TtyFyFAy=Z0yt0Ty自由固定，边界条件TyyTyyyTT,,0:0第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（2）水平终结线（固定端点问题）例子找出下列泛函的极值曲线通解：把代入通解，得：TdtyytyV02自由边界条件TTyy,10,10:212*41CtCtty10y102*Cy第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（2）水平终结线（固定端点问题）由：得横截条件：对通解求导得：横截条件代入，得：因为，从而：极值曲线：ytFyytFy2,2000222TyTyTyTTyTyTyTFyFTty1*21CttyTCCTTy2102111*1041212*CTCTTy10Ty13412*ttty第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（3）终结曲线（）终结曲线意味着：代入一般横截条件，得：横截条件：Ay(T)=g(T)0ytTgyT0TgFFyFTtyy0TtyFygFTgTyTgTyyy,0:0边界条件第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（3）终结曲线例子：找出点（0,1）和线y=2-t之间具有最短距离的曲线由欧拉方程，得通解：由边界条件：求得：dtyyVMinT02/121TTyyTS210..21*CtCty10y12C第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（3）终结曲线由横截条件求另一参数横截条件：简化得：由通解，得：从而：极值曲线：2/122/12111yyFtgyFy处）（在Ttyyyy01112/122/12处）（在TtTy11*Cty11C1*tty第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（4）截断垂直终结线（）1）最大化问题的横截条件：2）最小化问题的横截条件：minyyT0,,0min*min*TtyTTTtyFyyyyF0,,0min*min*TtyTTTtyFyyyyF第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（4）截断垂直终结线例子：通解：由边界条件得：TdtytyVMax0225,2,40:TyTy边界条件21*CtCty40y402*Cy第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（4）截断垂直终结线先用横截条件，得出试探解检查是否满足条件：由横截条件得：得最优解：不满足约束条件0TtyFTy*min*yTy0Ty4*ty54*Ty5Ty第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（4）截断垂直终结线令，把问题转化为固定端点问题求解：由欧拉方程得通解：边界条件代入，得：极值曲线：52yTdtytyVMax02252,40:yy边界条件21*CtCty522,4021*2*CCyCy421*tty第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（5）截断水平终结线（）1）最大化问题的横截条件：2）最小化问题的横截条件：maxTT0,,0max*max*TtyTtyFyFTTTTFyF0,,0max*max*TtyTtyFyFTTTTFyF第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（5）截断水平终结线例子：求下边问题的极值曲线：通解：由边界条件得：TdtyytyVMax024,10,10:TTyy边界条件212*41CtCtty10y102*Cy第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（5）截断水平终结线由横截条件得：对通解求导得：横截条件代入，得：由边界条件：有：得：，不满足约束条件0Ty1*21CttyTC211101214122*TTTy46*T10Ty4T第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（5）截断水平终结线令，把问题转化为固定端点问题求解：由欧拉方程得通解：边界条件代入，解得：极值曲线：4TTdtyytyVMax02104,10:yy边界条件212*41CtCtty,1,41321CC1413412*ttty第四讲变分法可变端点的横截条件可变端点横截条件练习题：求下列问题的极值曲线（1）（2）（3）TdtytyyV0221自由边界条件TyTy,4,10:TdtyyyyyyV0221自由边界条件TTyy,0,20:TdttyyV02TyyT3,10:边界条件第四讲变分法可变端点的横截条件（五）例子——动态垄断模型成本函数：需求函数：利润函数：厂商面临的问题：10001.02QCPPQ10081603560320010002604.14416,22PPPPPPCPQPP10294110..,20PPTSdtPPMax第四讲变分法可变端点的横截条件（五）例子——动态垄断模型欧拉方程的通解：由利润函数，得：横截条件：即：941412.0212.01*tteAeAtP32002000260tPtPp02tp6.1213.02PP第四讲变分法可变端点的横截条件（五）例子——动态垄断模型由边界条件和横截条件求特解把初始条件代入通解，得：通解在t=2取值：求导：把上两式代入横截条件得：94110P321AA9414224.0224.012**eAeAtPPt24.0224.012**12.012.02eAeAtPPt2778.025.001.024.0224.01eAeA6.1213.02PP第四讲变分法可变端点的横截条件（五）例子——动态垄断模型由联立方程：解得：定解为：符合终结条件321AA2778.025.001.024.0224.01eAeA716.7,716.421AA9414716.7716.412.012.0*tteetP1037.142*P第四讲变分法可变端点的横截条件（五）例子——通货膨胀和失业的权衡政府面临的问题：社会损失函数：自由）（给定）（为贴现率）（TTTtTS.T.dteMin0000,22,jj第四讲变分法可变端点的横截条件（五）例子——通货膨胀和失业的权衡欧拉方程的通解：横截条件：简化为：trtreAeAt2121*222211421,jjrr处）（在TtejjFt012222221,0jTT第四讲变分法可变端点的横截条件（五）例子——通货膨胀和失业的权衡由边界条件和横截条件求特解把初始条件代入通解，得：由通解得：求导：把上两式代入横截条件得：00021AATrTreAeAT2121*TrTreAreArT212211*0212211TrTreAreAr0TT第四讲变分法可变端点的横截条件（五）例子——通货膨胀和失业的权衡由联立方程：解得：定解为：021AA0212211TrTreAreArTrTrTrTrTrTrerererAerererA2112122110221201,trTrTrTrtrTrTrTreererereererert2211121221102120*第四讲变分法可变端点的横截条件（六）推广的情形（1）可变的初始点情形（初始点）0TAZT0ytty*tptyty*tpT0TTTT