与椭圆有关的定值、最值问题分析

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．一、定值定点问题解:(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab3,1acac，22,1,3acb221.43xy(II)设1122(,),(,)AxyBxy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0mkkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmkxxmkxxmk以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，1212122()40yyxxxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222,7kmkm，且满足22340km.当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lykx，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7二、最值问题已知椭圆C:2222byax=1(a＞b＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求△AOB面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2213xy．（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，．（1）当ABx⊥轴时，3AB．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm．由已知2321mk，得223(1)4mk．把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mxxk．22221(1)()ABkxx22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121233(0)34196123696kkkkkk≤．当且仅当2219kk，即33k时等号成立．当0k时，3AB，综上所述max2AB．当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB．已知椭圆x24＋y23＝1，试确定m的取值范围，使得对于直线y＝4x＋m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称．例1三、取值范围问题求F1、F2分别是椭圆2214xy的左、右焦点.（Ⅰ）若P是第一象限内椭圆上的一点，4521PFPF，求点P的坐标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.例2解：（Ⅰ）易知2a，1b，3c．∴1(3,0)F，2(3,0)F．设(,)Pxy(0,0)xy．则22125(3,)(3,)34PFPFxyxyxy，又2214xy，联立22227414xyxy，解得22113342xxyy，3(1,)2P．（Ⅱ）显然0x不满足题设条件．可设l的方程为2ykx，设11(,)Axy，22(,)Bxy．联立22222214(2)4(14)1612042xyxkxkxkxykx∴1221214xxk，1221614kxxk由22(16)4(14)120kk22163(14)0kk，2430k，得234k．①又AOB为锐角cos00AOBOAOB，∴12120OAOBxxyy又212121212(2)(2)2()4yykxkxkxxkxx∴1212xxyy21212(1)2()4kxxkxx2221216(1)2()41414kkkkk22212(1)21641414kkkkk224(4)014kk∴2144k．②综①②可知2344k，∴k的取值范围是33(2,)(,2)22．三、取值范围问题已知m＞1，直线2:02mlxmy，椭圆222:1xCym，1,2FF分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于,AB两点，2121,FBFFAF的重心分别为,GH.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.练习：