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已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线:lykxm与椭圆C相交于A,B两点(AB,不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.一、定值定点问题解:(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab3,1acac,22,1,3acb221.43xy(II)设1122(,),(,)AxyBxy,由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm,22226416(34)(3)0mkkm,22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmkxxmkxxmk以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk,1212122yyxx,1212122()40yyxxxx,2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk,2271640mmkk,解得1222,7kmkm,且满足22340km.当2mk时,:(2)lykx,直线过定点(2,0),与已知矛盾;当27km时,2:()7lykx,直线过定点2(,0).7综上可知,直线l过定点,定点坐标为2(,0).7二、最值问题已知椭圆C:2222byax=1(a>b>0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为23,求△AOB面积的最大值.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意633caa,,1b,所求椭圆方程为2213xy.(Ⅱ)设11()Axy,,22()Bxy,.(1)当ABx⊥轴时,3AB.(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为ykxm.由已知2321mk,得223(1)4mk.把ykxm代入椭圆方程,整理得222(31)6330kxkmxm,122631kmxxk,21223(1)31mxxk.22221(1)()ABkxx22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121233(0)34196123696kkkkkk≤.当且仅当2219kk,即33k时等号成立.当0k时,3AB,综上所述max2AB.当AB最大时,AOB△面积取最大值max133222SAB.已知椭圆x24+y23=1,试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.例1三、取值范围问题求F1、F2分别是椭圆2214xy的左、右焦点.(Ⅰ)若P是第一象限内椭圆上的一点,4521PFPF,求点P的坐标;(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.例2解:(Ⅰ)易知2a,1b,3c.∴1(3,0)F,2(3,0)F.设(,)Pxy(0,0)xy.则22125(3,)(3,)34PFPFxyxyxy,又2214xy,联立22227414xyxy,解得22113342xxyy,3(1,)2P.(Ⅱ)显然0x不满足题设条件.可设l的方程为2ykx,设11(,)Axy,22(,)Bxy.联立22222214(2)4(14)1612042xyxkxkxkxykx∴1221214xxk,1221614kxxk由22(16)4(14)120kk22163(14)0kk,2430k,得234k.①又AOB为锐角cos00AOBOAOB,∴12120OAOBxxyy又212121212(2)(2)2()4yykxkxkxxkxx∴1212xxyy21212(1)2()4kxxkxx2221216(1)2()41414kkkkk22212(1)21641414kkkkk224(4)014kk∴2144k.②综①②可知2344k,∴k的取值范围是33(2,)(,2)22.三、取值范围问题已知m>1,直线2:02mlxmy,椭圆222:1xCym,1,2FF分别为椭圆C的左、右焦点.(Ⅰ)当直线l过右焦点2F时,求直线l的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于,AB两点,2121,FBFFAF的重心分别为,GH.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.练习:
本文标题:与椭圆有关的定值、最值问题分析
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