2013年考研数学一真题及答案解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）已知极限0arctanlimkxxxcx，其中,ck为常数，且0c，则（）（A）12,2kc（B）12,2kc（C）13,3kc（D）13,3kc（2）曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（）（A）2xyz（B）2xyz（C）23xyz（D）0xyz（3）设1()2fxx，102()sin(1,2,...)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则9()4S（）（A）34（B）14（C）14（D）34（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,lxylxylxylxy为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iilyxIydxxdyi，则()iMAXI()（A）1I（B）2I（C）3I（D）3I（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若,BABC则可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价（6）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为（A）a0,b2（B）为任意常数ba,0（C）0,2ba（D）为任意常数ba,2（7）设123XXX，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)XN，X0,2），X,{22}(1,2,3),jjPPXj则（）（A）123PPP（B）213PPP（C）312PPP（D）132PPP（8）设随机变量~(),~(1,),XtnYFn给定(00.5),aa常数c满足{}PXca,则2{}PYc（）（A）（B）1（C）2（D）12二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设函数()fx由方程(1)xyyxe确定，则1lim(()1)nnfn．(10)已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y．(11)设sinsincosxtyttt（t为参数），则224tdydx．(12)21ln(1)xdxx．（13）设ijA(a)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若ijijaA0(i,j1,2,3),____A则（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布,a为常数且大于零，则{1|}PYaYa________。三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算10(),fxdxx其中1ln(1)()xtfxdtt（16）（本题满分10分）设数列{}na满足条件：0123,1,(1)0(2),nnaaannan()Sx是幂级数0nnnax的和函数，（I）证明：()()0SxSx,（II）求()Sx的表达式.（17）（本题满分10分）求函数3(,)()3xyxfxyye的极值.（18）（本题满分10分）设奇函数()fx在[-1,1]上具有2阶导数，且(1)1,f证明：（I）存在(0,1),'()1f使得（II）存在1,1，使得''()'()1ff（19）（本题满分10分）设直线L过(1,0,0),(0,1,1)AB两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面,与平面0,2zz所围成的立体为，（I）求曲面的方程（II）求的形心坐标.（20）（本题满分11分）设101,101aABb，当,ab为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。（21）（本题满分11分）设二次型22123112233112233,,2fxxxaxaxaxbxbxbx，记112233,ababab。（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。（22）（本题满分11分）设随机变量的概率密度为2103()40xxfx其他，令随机变量211212xYxxx,（I）求Y的分布函数（II）求概率{}PXY（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为23,0,0,.xexfxx其它其中为未知参数且大于零，12,NXXX，为来自总体X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）已知极限0arctanlimkxxxcx，其中,ck为常数，且0c，则（）（A）12,2kc（B）12,2kc（C）13,3kc（D）13,3kc【答案】D【解析】33300011(())arctan133limlimlim,3,3kkkxxxxxxoxxxxckcxxx（2）曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（）（A）2xyz（B）2xyz（C）23xyz（D）0xyz【答案】A【解析】设2(,,)cos()Fxyzxxyyzx，则(,,)2sin()1(0,1,1)1xxFxyzxyxyF；(,,)sin()(0,1,1)1yyFxyzxxyzF；(,,)(0,1,1)1zzFxyzyF，所以该曲面在点(0,1,1)处的切平面方程为(1)(1)0xyz，化简得2xyz，选A（3）设1(),[0,1]2fxxx，102()sin(1,2,...)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则9()4S（）（A）34（B）14（C）14（D）34【答案】C【解析】根据题意，将函数在[1,1]上奇延拓1,012()1,102xxfxxx，它的傅里叶级数为()Sx它是以2为周期的，则当(1,1)x且()fx在x处连续时，()()Sxfx，因此991111()(2)()()()444444SSSSf（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,lxylxylxylxy为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iilyxIydxxdyi，则()iMAXI()（A）1I（B）2I（C）3I（D）4I【答案】D【解析】33()(2)(1,2,3,4)63iilyxIydxxdyi22(1)2iDyxdxdyxyO12利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域14,DD上函数为正值，则区域大，积分大，所以41II，在4D之外函数值为负，因此4243,IIII，故选D。（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【解析】由ABC可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有1CBA，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。（6）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为（A）0,2ab（B）为任意常数ba,0（C）0,2ba（D）为任意常数ba,2【答案】(B)【解析】由于1111aabaa为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为1111aabaa的特征值为0,,2b。又211[()(2)2]11aEAababaa，从而为任意常数ba,0。（7）设123XXX，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)XN，X0,2），X,{22}(1,2,3),jjPPXj则（）（A）123PPP（B）213PPP（C）312PPP（D）132PPP【答案】（A）【解析】由221230,1,0,2,5,3XNXNXN知，111222221pPXPX，222222211pPXPX，故12pp.由根据235,3XN及概率密度的对称性知，123ppp，故选（A）（8）设随机变量~(),~(1,),XtnYFn给定(00.5),aa常数c满足{}PXca,则2{}PYc（）（A）（B）1（C）2（D）12【答案】（C）【解析】由~(),~(1,)XtnYFn得，2YX，故2222PYcPXcPXcXca或二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上)．(9)设函数()fx由方程(1)xyyxe确定，则1lim(()1)nnfn．【答案】1【解析】01()1lim(()1)lim(0)nxfxnffnx由(1)xyyxe，当0x时，1y方程两边取对数ln()(1)yxxy两边同时对x求导，得11(1)yyxyyx将0x，1y代入上式，得(0)1f(10)已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y．【答案】3212xxxyCeCexe【解析】因321xxyexe，22xxyexe是非齐次线性线性微分方程的解，则312xxyyee是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为312xxpyCeCe，因此该方程的通解可写为3212xxxyCeCexe(11)设sinsincosxtyttt（t为参数），则224tdydx．【答案】2【解析】sincossincos,cosdydxtttttttdtdt，coscosdytttdxt，()1dyddxdt，所以221cosdydxt，所以2242tdydx(12)21ln(1)xdxx．【答案】ln2【解析】12111ln1ln1ln()(1)11(1)xxdxxddxxxxxx1111111[lnln(1)]lnln2(1)11xdxdxxxxxxxx（13）设ijA(a)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若ijijaA0(i,j1,2,