2020年高考数学(理科)一轮复习课件：第九章-第11讲-回归分析与独立性检验(62张)

第11讲回归分析与独立性检验1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)了解回归的基本思想、方法及其简单应用.1.变量间的关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图.(3)正相关、负相关.①在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，两个变量的这种相关关系称为正相关.②在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.2.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)线性相关关系：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.(3)回归直线的求法：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，通过求偏差的平方和Q＝1(niyi－b^xi－a^)2的最小值而得到回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法，则回归直线方程y^＝b^x＋a^的系数为：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx其中x－＝1n1niix，y－＝1n1niiy，(x－，y－)称作______________.样本点的中心(4)线性相关强度的检验：①r＝12211()()()()niiinniiiixxyyxxyy＝1222211()()niiinniiiixynxyxnxyny叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度.②当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量________.负相关r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(5)相关指数：R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好.R2＝1－2121()()niiiniiyyyy.3.独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量.(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d2×2列联表n＝______________为样本容量.(3)独立性检验：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.构造一个随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中a＋b＋c＋d1.第31届夏季奥林匹克运动会，中国获26金，18银，26铜共70枚奖牌居奖牌榜第二，并打破3次世界纪录.由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见.有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性公民中有1560名持反对意见，2452名女性公民中有1200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数与中国进入体育强国有无关)系时，用什么方法最有说服力(A.平均数与方差C.独立性检验B.回归直线方程D.概率解析：由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求.故用独立性检验最有说服力.答案：C2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4解析：因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B.故选A.答案：A3.对四组数据进行统计，获得以下关于其相关系数的比较，正确的是()A图9-6-1A.r2r40r3r1B.r4r20r1r3C.r4r20r3r1D.r2r40r1r34.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A.－1B.0C.12D.1Dx123456y021334考点1相关关系判断例1：已知x与y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得回归直线方程为y^＝b^x＋a^.若某同学根据上表中前两组数据(1,0)和(2,2)求得的回归直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A.b^b′，a^a′B.b^b′，a^a′C.b^b′，a^a′D.b^b′，a^a′解析：由表格知，x－＝216＝72，y－＝136.则b^＝1×0＋2×2＋3×1＋4×3＋5×3＋6×4－6×72×13612＋22＋32＋42＋52＋62－6×722＝57，a^＝y－－b^x－＝136－57×72＝－13.由两组数据(1,0)和(2,2)，得x－′＝32，y－′＝1.则b′＝1×0＋2×2－2×32×112＋22－2×322＝2，a′＝y－′－b′x－′＝1－2×32＝－2.综上所述，b^b′，a^a′.故选C.答案：C【规律方法】回归直线方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝1221niiiniixynxyxnx，a^＝y－－b^x－.其中x－＝1n1niix，y－＝1n1niiy，点(x－，y－)称为样本点的中心，回归直线都经过样本点的中心.x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0【互动探究】1.根据如下样本数据：得到的回归方程为y^＝b^x＋a^，则()A.a^0，b^0B.a^0，b^0C.a^0，b^0D.a^0，b^0解析：依题意，画散点图，如图D102，两个变量负相关，图D102答案：A所以b^0，a^0.x173170176y1701761822.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为____cm.解析：由题意，得父亲身高xcm与儿子身高ycm对应关系如下表：则x＝173＋170＋1763＝173，y＝170＋176＋1823＝176，31(ixi－x)(yi－y)＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)×(182－176)＝18，31(ixi－x)2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18.∴b^＝1818＝1.∴a^＝y－b^x＝176－173＝3.∴回归直线方程为y^＝b^x＋a^＝x＋3.∴可估计孙子身高为182＋3＝185(cm).答案：185考点2回归分析的综合运用例2：(2015年新课标Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图(如图9-6-2)及一些统计量的值.图9-6-2(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；xyw81(ixi－x－)281(iwi－w－)281(ixi－x－)(yi－y－)81(iwi－w－)(yi－y－)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝xi，w＝1881ii.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx，哪一个适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题：①当年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α^＋β^u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝121()()()niiiniiuuuu，α^＝υ－－β^u－.解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程.∵d^＝81821()()()iiiiiyy＝108.81.6＝68，∴c^＝y－－d^w－＝563－68×6.8＝100.6.∴y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w.∴y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值为：y^＝100.6＋6849＝576.6，z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值为：z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.∴当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值.故年宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.(2)回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：①确定特定量之间是否有相关关系，如果有，就找出它们之间的数学表达式；②根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③求出回归直线方程.【规律方法】(1)求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^，由于a^，b^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误.(注意回归直线方程中一次项系数为b^，常数项为a^，这与一次函数的习惯表示不同)x234567912y12334568【互动探究】3.已知某蔬菜商店买进的土豆x(单位：吨)与出售天数y(单位：天)之间的关系如下表所示：(1)请根据上表数据在所给网格纸中绘制散点图；图9-6-3(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^(其中b保留2位有效数字)；(3)根据(2)中的计算结果，若该蔬菜商店买进土豆40吨，则预计可以销售多少天(计算结果保留整数)?附：b^＝1221niiiniixynxyxnx，a^＝y－－b^x－.解：(1)散点图如图D103：图D103(2)依题意，得x＝18(2＋3＋4＋5＋6＋7＋9＋12)＝6，y＝18(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，821iix＝4＋9＋16＋25＋36＋49＋81＋144＝364，81iiixy＝2＋6＋12＋15＋24＋35＋54＋96＝244，(3)由(2)可知当x＝40时，y＝0.68×40－0.08≈27，故买进土豆40吨，预计可销售27天.b^＝81822188iiiiixyxyxx＝244－8×6×4364－8×62＝5276＝0.68，∴a^＝4－0.68×6＝－0.08.∴回归直线方程为y^＝0.68x－0.08.考