高中数学新课程创新教学设计案例--等差数列

45等差数列教材分析等差数列是高中阶段研究的两种最常见的数列之一．这节内容在一些具体实例的基础上，归纳、抽象、概括出了等差数列的定义及其通项公式．教学重点是等差数例的定义及通项公式的发现过程及有关知识的应用．教学难点是理解公式的实质并加以灵活运用．教学目标1.理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练应用．2.通过对等差数列概念及通项公式的归纳、抽象和概括，体验等差数列概念的形成过程，培养学生的抽象、概括能力．3.培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力．任务分析这节课是在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，对此，学生接受起来并不太困难．对于等差数列的定义及通项公式的发现，要完全地放给学生自己讨论，探究，以便于充分调动学生的主观能动性，使其充分体验到成功的乐趣．对于通项公式，不要只看表面，更要看到公式的实质———四个量之间的一个等量关系，以便于以后运用方程思想灵活解决有关问题．教学设计一、问题情景在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列．1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：0.5，______________，______________，______________，______________，…2.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，______________，______________，______________，______________，5.5．3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是______________，______________，______________，______________，______________．问题：上面的数列有什么共同特点？你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？二、建立模型一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）．［问题］（1）如果三个数ａ，A，ｂ成等差数列，那么A叫ａ，ｂ的等差中项．你能用ａ，ｂ表示A吗？（2）你能猜想出问题情景中的3个数列各自的通项公式吗？（3）一般地，对于等差数列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ来表示其通项吗？解法1：归纳：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…，ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d．解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ，∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ．［思考］（1）这个通项公式有何特点？是关于n的几次式的形式？ｄ可以等0吗？（2）此公式中有几个量？［结论］（1）等差数列通项公式是关于n的一次式的形式，ｎ的系数为ｄ．当ｄ＝0时，该数列为常数列．（2）此公式中有四个量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式实质是四个量之间的关系．三、解释应用［例题］1.（1）求等差数列8，5，2，…的第20项．（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？2.某市出租车的计价标准为1.2元／千米，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元．所以，可建立一个等差数列｛ａn｝来计算车费．令ａ1＝11.2，表示4km处的车费，公差ｄ＝1.2．那么，当出租车行至14km处时，ｎ＝11，此时须要支付车费ａ11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）．答：须要支付车费23.2元．3.已知数列｛ａn｝的通项公式为ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ为常数，且ｐ≠０，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定｛ａn｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一个与ｎ无关的常数．解：取数列｛ａn｝中的任意相邻两项ａn与ａn-1（ｎ＞1），求差，得ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．它是一个与ｎ无关的数．所以｛ａn｝是等差数列．［练习］1.在等差数列中，（1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1与ｄ．（2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9．2.已知｛ａn｝是等差数列．（1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立？2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立？（2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立？2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立？3.已知数列｛ａn｝，｛bn｝的通项公式分别为ａn＝ａn＋2，bn＝bn＋1（ａ，ｂ是常数），且ａ＞ｂ，那么这两个数列中的序号与数值均相等的项的个数有几个？四、拓展延伸（1）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝3n－5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点．该图像与ｙ＝3ｘ－5的图像有什么关系？据此，你能得出一般性的结论吗？（2）通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗？（3）对于两个次数相同的等差数列｛ａn｝和｛bn｝，｛ａn＋bn｝，｛ａn·bn｝，（ｂｎ≠0）是否为等差数列？点评教师能否调动学生的积极性和能否真正培养学生能力，提高课堂效率，很大程度上取决于教师能否设计出既符合教材要求又符合学生的认知水平的问题．这节课正是通过恰当地设计一系列问题，层层递进，使问题得到了全面解决，这样不仅锻炼了学生思维，培养了学生能力，而且也充分体现了新课程的理念．值得一提的是，利用归纳的方式引导学生建立概念并及时在应用中深化，是这篇案例的突出特点．