离散型随机变量的概率分布-精选

一、概率分布律及分布函数二、常见的离散型随机变量1.5离散型随机变量及其分布律说明;,2,1,0)1(kpk.1)2(1kkp..,2,1,}{,}{,),,2,1(的分布律称此为离散型随机变量为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk一、概率分布律及分布函数定义离散型随机变量的分布律也可表示为nnpppxxxX2121~Xkpnxxx21nppp21.),(,.21,的分布律求相互独立的设各组信号灯的工作是号灯的组数它已通过的信表示汽车首次停下时以车通过的概率允许或禁止汽每组信号灯以组信号灯的道路上需经过四设一汽车在开往目的地XX解,通过的概率为每组信号灯禁止汽车设p则有kpX43210ppp)1(pp2)1(pp3)1(4)1(p例代入得将21pXkp432105.025.0125.00625.00625.0xxkkpxXPxF}{)(分布函数分布律}{kkxXPp离散型随机变量分布律与分布函数的关系显然，这时F(x)是一个跳跃函数，它在每个xi处有跳跃度p(xi).例一袋中装有同质的3个白球和2个黑球，X表示从中任取2个球中的白球数，试写出X的概率分布律及分布函数.二、常见离散型随机变量的概率分布设随机变量X只取常数a，即P{X=a}=1则称X服从a处的退化分布.1.退化分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为Xkp0p11p则称X服从(0—1)分布或两点分布.2.两点分布（Bernoulli分布)实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0—1)分布.,1)(eXX,0,正面当e.反面当eXkp012121其分布律为实例2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.Xkp0120019020010两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的,或称为n次重复独立试验.(1)重复独立试验3.二项分布(2)n重伯努利试验.1)(),10()(.,:pAPppAPEAAE此时　　设为伯努利试验则称及只有两个可能结果　　设试验伯努利资料.,重伯努利试验nnE复的独立试验为则称这一串重次独立地重复地进行　　将实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.(3)二项概率公式,发生的次数重伯努利试验中事件表示若AnX所有可能取的值为则X.,,2,1,0n,)0(时当nkkX.次次试验中发生了在即knA次kAAA,次knAAA次1kAAAAA次1knAAA次的方式共有次试验中发生在得knA,种kn且两两互不相容.nknknnkpqpknpqnqpnkX1110称这样的分布为二项分布.记为).,(~pnbX次的概率为次试验中发生在因此knAknkppkn)1(pq1记knkqpkn的分布律为得X二项分布1n两点分布二项分布的图形例如在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从b(5,0.6)的二项分布.5)4.0(44.06.015324.06.025234.06.0354.06.045456.0Xkp012345?)20,,1,0(20.20,2.0.1500,一级品的概率是多少只中恰有只元件问只现在从中随机地抽查品率为级已知某一大批产品的一小时的为一级品用寿命超过某种型号电子元件的使按规定kk分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理..2020,重伯努利试验只元件相当于做检查验一级品看成是一次试把检查一只元件是否为例解,20只元件中一级品的只数记以X),2.0,20(~bX则因此所求概率为.20,,1,0,)8.0()2.0(20}{20kkkXPkk012.0}0{XP058.0}1{XP137.0}2{XP205.0}3{XP218.0}4{XP175.0}5{XP109.0}6{XP055.0}7{XP022.0}8{XP007.0}9{XP002.0}10{XP时当11,001.0}{kkXP图示概率分布.,400,02.0,率试求至少击中两次的概次独立射击设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为).02.0,400(~bX则的分布律为X,)98.0()02.0(400}{400kkkkXP.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0例使得b(k;n,p)取到最大值的m为二项分布随机变量的最可能值或称为最大可能成功值.m=[(n+1)p]注：当(n+1)p为整数时，b(m;n,p)=b(m-1;n,p)同时达到最大值。例保险公司为一单位500名员工办理了一年期医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为0.01，问保险期内最可能发生几次理赔，并求相应的概率。4.泊松分布).(π~,.0,,2,1,0,!e}{,,2,1,0XXkkkXPk记为布的泊松分服从参数为则称是常数其中值的概率为而取各个的值为设随机变量所有可能取泊松资料泊松分布的图形泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水泊松定理：二项分布泊松分布)(nnp设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算,1.00001.01000所求概率为99910009999.00001.0110009999.01.0047.0!1e1.0!0e11.01.0解}2{XP}1{}0{1}2{XPXPXP),0001.0,1000(~bX例有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?例为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解.人设需配备N设备记同一时刻发生故障的,X台数为).01.0,300(~,bX那么所需解决的问题,N是确定最小的使得合理配备维修工人问题由泊松定理得,!e3}{03NkkkNXP故有,99.0!e303Nkkk即Nkkk03!e3113!e3Nkkk,01.0.8是小的查表可求得满足此式最N个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8.99.0}{NXP例设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法台中人维护的表示事件“第20i,201数”的台台中同一时刻发生故障人维护的记“第以X)4,3,2,1(iAi以发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为则知80台中发生故障)()(14321APAAAAP}.2{XP),01.0,20(~bX而np又,2.0故有22.0!)2.0(}2{kkkkXP.0175.0即有.0175.0)(4321AAAAP按第二种方法.80障的台数台中同一时刻发生故记以Y),01.0,80(~bY则有np又,8.0故80台中发生故障而不能及时维修的概率为48.0!)8.0(}4{kkkkYP.0091.05.几何分布引例设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数X是一个随机变量,求X的分布律.)(}{121kkAAAAPkXP)()()()(121kkAPAPAPAPppppk)1()1()1)(1(.1pqk),2,1(k解.,3,2,1所取的可能值是X,个产品是正品”表示“抽到的第设iAi若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布,记为X~g(p).,1,qpXkpk21pqppqk1几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.说明1几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.说明2几何分布具有无记忆性:()()PXmnXnPXm引例：某班有学生20名，其中有5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女同学人数X是一个随机变量，求X的概率分布.4,3,2,1,0)(4204155kCCCkXPXkk的分布为解：容易得到6.超几何分布一般地，如果有N个元素分为两大类，第一类有M个元素，第二类有N-M个元素，采用不重复抽样，从N个元素中取出n个元素，那么所取到的第一类元素的个数X的分布称为超几何分布.若随机变量X的概率分布为则称X服从超几何分布.()0,1,2,min(,)knkMNMnNCCPXkknMC，超几何分布产生于不放回抽样，而二项分布产生于有放回抽样。在实际工作中，抽样一般都采用不放回方式，因此计算时应该用超几何分布。但是，当N较大时，超几何分布计算较繁琐。若产品总数N很大，而抽样的次数n相对于N很小时，超几何分布可以用二项分布来近似，即有以下定理：定理对于任意固定的n(≥1)，当N充分大时，则有:定理在直观上还是比较容易理解的。因为当产品总数N很大而抽样的次数n相对于N很小时，可以认为不放回抽样与有放回抽样的差别应该是很小的，即超几何分布可以用二项分布来近似。在实际计算中，一般当n≤0.1N时，就可以运用以上的近似公式。()(1)0,1,......min(,)knkkknkMNMnnNCCMMCknMCNN，离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布几何分布二项分布泊松分布1010.p,n两点分布1n三、小结超几何分布).,(,,)10(),,2,1(,,0,1,,,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为服从二项分布那末分布并且相互独立它们都服从次试验失败若第次试验成功若第设每次试验成功的概率为立重复伯努里试验次独对于分布的推广二项分布是