形态各异的圆锥计算题

形态各异的圆锥计算题近年来，对圆锥问题考查花样繁多，不局限于几个简单“小问题”的叠加，而是呈现多角度，深层次特点，常见问题有：一.求母线长例1（2010山东威海）一个圆锥的底面半径为6㎝，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为（）A．9㎝B．12㎝C．15㎝D．18㎝解析:底面的圆周长＝2r＝2×6＝12，侧面展开图是扇形，设圆锥的母线长为a,则其弧长＝180na＝240180a，∵底面的圆周长＝侧面展开图弧长，∴12＝240180a，解得母线长a为9㎝．选A.点评:圆锥的侧面展开问题是中考的热点之一，就本题而言，抓住等量关系“圆锥底面的圆周长＝圆锥侧面展开图的弧长”是解决圆锥底面半径、母线长、侧面展开图圆心角之间关系的关键．二.求底面面积例2（2010茂名）如图1是一个圆锥形冰淇淋，已知它的母线长是13cm，高是12cm，则这个圆锥形冰淇淋的底面面积是()A．10cm2B．25cm2C．60cm2D．65cm2解析:由勾股定理可以求得这个圆锥形冰淇淋的底面半径是5121322.所以它的底面圆的面积是25cm2.选B.点评:本题主要是结合圆锥来求底面圆的半径，培养学生的综合应用能力.三.求侧面积例3（2010浙江湖州）如图2在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（）A．6B．9C．12D．15解析:圆锥的侧面中考是个扇形，其弧长为圆锥底面圆的周长，即6，其半径是圆锥的母线长，即BC的长，然后再利用扇形的面积公式S＝12弧长半径＝1265＝15，故选D．点评:与圆有关的计算一直是中考考查的重要内容，主要考点有：弧长和扇形面积及其应用等，其中扇形与圆锥的侧面展开问题是中考的热点之一．四.求最短路程例4（2010湖北孝感）如图3，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是（）A．8B．210C．215D．220解析:圆锥的侧面展开图是扇形，其半径为20，弧长为10π，设圆心角为n°,1018020n,n=90°.求蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程为:220202022.选D图1图2图3点评:本题考查圆锥的侧面展开图，需要将空间问题转化成平面图形问题，需要有一定的空间想象能力.五.求底面圆半径例5(2010黄石市)如图4，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（）A．13Ｂ．36Ｃ．33Ｄ．34解析:连结BC、OB、OC显然ABC是等边三角形，由此求出AB=3，求得弧长BC=33318060,可求得底面半径r=36,选B.点评:此题的难度较大，先要算出等边三角形的边长，这也是大圆的半径，再算弧长BC，最后算出围成圆锥的底面圆的半径.六.求圆锥的高例6（2010山东济宁）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去31圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A．6cmB．53cmC．8cmD．35cm解析:从图形可以看出，圆锥的母线长是原的半径9cm，减去31圆周后剩下的扇形的弧长恰好是圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝322π×9，解得r＝6cm，设圆锥的高为h，则h＝536922cm．选B点评:圆锥的侧面展开图是将圆锥沿一条母线剪开得到的一个扇形，它的半径为圆锥的母线长，弧长为圆锥的底面圆的周长．圆锥的高、母线、底面圆的半径构成一个直角三角形；反过来，用一个扇形围一个圆锥时，圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆的周长为扇形的弧长，由此可求出底面圆的半径，再在直角三角形中，可求圆锥的高．七.求圆心角例7（2010鄂尔多斯）如图6，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径为50cm，小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是度．解析:圆锥底面半径为10cm，∴底面周长为20πcm，即展开后扇形的弧长为20πcm，∵该扇形半径为50cm，所以根据弧长公式可得5020180n，解得n＝72°，即所用扇形的圆心角为72°，∴被剪去的扇形纸片的圆心角应该是90°－12°＝18°．点评:与圆有关的计算一直是中考考查的重要内容，主要考点有：圆锥侧面展开图，弧长和扇形面积及其应用等，要熟练掌握公式．ACOB图4剪去图5图6