《两角差的余弦公式》教案

高一数学必修4第三章第1节《两角差的余弦公式》教案作者：何源麟一、教材分析本小节教材以本章开头的电视塔为实际问题引出关于两角角和、差的三角函数值的计算，首先从差角余弦公式开始，引用第一章中借助单位圆探究三角函数的想法，在单位圆中建立两角差，并寻找它的余弦线，用数形结合的方式探究两角差的余弦公式，然后，又应用刚刚学习的向量知识探究任意角的两角差的余弦公式，让同学们体会向量的在数学其他领域上的作用，最后以两个例题的求解过程展现两角差的余弦公式的实际应用价值。二、教学目标1.知识与技能(1)掌握运用单位圆上三角函数基本知识和向量知识推出两角差的余弦公式的探索过程。(2)了解两角差的余弦公式的意义，并能应用与简单计算。2.过程与方法(1)通过参与运用向量知识和三角函数基本知识推出差角余弦公式的过程，进一步理解函数与向量的内在联系。(2)通过运用两角差的余弦公式技巧性的计算常见角度的余弦值，理解两角差的余弦公式在实际问题中的应用广度，为学习其余三角函数公式打下根基。13.情感态度与价值观经过本节课的学习，对该公式有个全面透彻的了解，进一步感受三角函数与其他函数的区别，并通过实例，体会三角函数的应用价值。三、教学重难点1.教学重点：差角余弦公式在实例运算中的应用。2.教学难点：差角余弦公式的推导过程与方法。四、教学过程（一）导入新课问题1：我们已经学习了cos60°=12，cos30°=√32，cos45°=√22,但没有学习其他角的余弦值，比如：cos15°，cos75°那么，我们能否用学过的60°，30°，45°的余弦、正弦去表示cos15°，cos75°呢？通过学生自主探究，板书cos15°=cos(60°−45°)，cos75°=cos(120°−45°)。大家很容易认为cos(60°−45°)=cos60°−cos45°容易验证得cos60°−cos45°0，cos(60°−45°)0所以cos(60°−45°)≠cos60°−cos45°那么，我们一起来学习两的差的余弦cos（𝛼−𝛽）等于什么？（二）新课教学问题2：在第一章的学习中，我们用直角坐标系上的单位圆探究了三角函数，那么对于这个𝛼−𝛽的余弦的问题，我们能否也可以用单位圆来探索呢？这个问题无非就是在单位圆中建立角𝛼−𝛽，那我们该如何建立？请小组讨论一下。2总结学生讨论结果写出建立过程：如图，设角α，βϵ(0，90°),且𝛼𝛽,令角a的终边与单位圆的交点为为p1，∠POP1=β则∠𝓍OP=𝛼−𝛽.问题3：我们已经建立了角𝛼−𝛽，下一步如何在单位圆中表示出cos（𝛼−𝛽）呢？学生经过一番思考之后板书演示：过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，显然OM就是角𝛼−𝛽的余弦线.问题4：我们的最终目的是用𝛼和𝛽的正弦和余弦表示cos（𝛼−𝛽）现在我们已经用OM表示了角𝛼−𝛽的余弦线，那我们能否用角𝛼，𝛽的正弦线、余弦线来表示OM呢？学生讨论之后经行讲解：过点P作PA垂直于OP1.垂足为A.过点A作AB垂直于x轴，垂足为B.过点P作PC垂直于AB垂足为C.那么OA表示cos𝛽，AP表示sin𝛽,并且∠PAC=∠P1O𝓍=α.于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcos𝛼+APsin𝛼3=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽回顾该公式推导过程，点明此时三个角都是锐角思考：对于任意的角𝛼，𝛽，以上公式是否成立呢？下面我们用向量的知识经行探究：如图，在平面直角坐标系𝓍𝒪𝓎内作单位圆O，以𝒪𝓍为始边作角𝛼，𝛽.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B。则向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(cos𝛼，sin𝛼)，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(cos𝛽，sin𝛽)由向量数量积的坐标表示，有𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(cos𝛼，sin𝛼)∙(cos𝛽，sin𝛽)=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽而又有𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|∙|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|∙cos𝜃，由图可知α−β=θ±2kπ，k∈Z，则cos（𝛼−𝛽）=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽所以对于∀𝛼，𝛽，有cos（𝛼−𝛽）=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽。该公式称之为两角差的余弦公式。（三）巩固提高1.例题讲解4例1：利用差角余弦公式求cos15°的值。引导学生用两种解法求解.例2：已知sin𝛼=45，𝛼𝜖(𝜋2，𝜋)，cos𝛽=513，𝛽是第三象限的角，求cos（𝛼−𝛽）.思考：本题为何要给出𝛼𝜖(𝜋2，𝜋)2.课堂练习运用今天学过的两角差的余弦公式计算下列各三角函数的值。。（1）cos70°cos10°+sin70°sin10°（2）cos105°（四）小节回顾现在学习了两角差的余弦公式，对于该公式的推导过程大家要熟练掌握；在给出一个余弦值函数，要灵活处理计算他的余弦值。五、作业布置1、请同学们自主推导两角差的余弦公示2、思考如何根据两角差的余弦公式得出两角和差的正弦、正切，两角和的余弦？六、教学反思————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————