高中数学新课程创新教学设计案例--基本不等式

50基本不等式：教材分析“”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取‘＝’号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．教学目标1.理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．3.通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．任务分析这节内容从实际问题情境展开探讨，“如要围成面积为16ｍ2的一个矩形，所需绳子最短是多少？即设长为ｘ，宽为，则周长为l＝2ｘ＋2×，求当ｘ取何值时，l最小．”让学生去猜测，去思考，充分调动学生的积极性，激发学生的想象和猜想能力．当学生猜想它应为正方形这一结论时，教师适时引导如何去证明猜想的正确性，激发学生的求知欲望，从而达到由问题到结论的证明，开阔学生的思路，陶冶学生的情操．教学设计一、问题情境教师出示问题，引导学生分析、思考：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？二、建立模型1.通过比较ａ2＋ｂ2与2ａｂ的大小，引入重要不等式．∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）2＞0；当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ．2.结论明晰定理1如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．思考：对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？三、解释应用［例题］1.已知ｘ，ｙ都是正数，求证：小结；上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．2.设法解决本节课开始提出的问题．因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．3.0求证：在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且这个正方形的面积等于ｄ2．2.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为λ（λ＜１），画面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．问：怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？答：当画面高为88ｃｍ、宽为55ｃｍ时，所用纸张面积最小．3.用一段长为L（ｍ）的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，问：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？上述两种解答的答案不同，哪一种方法是错误的，为什么？四、拓展延伸点评这篇案例由实际问题引入课题，既自然，又能引起学生的兴趣，激发起学生的求知欲望，为本节重点的突破打下良好的基础．由学生已有知识归纳和总结得到这节课的两个定理，使学生易于理解和接受．由典型例题的证明，归纳出一般结论，培养了学生的逻辑推理能力．由练习的变形培养了学生灵活处理问题的能力．对实际问题的解决体现了数学的应用价值．重要不等式灵活变形的使用不仅加深了对推理的理解，同时突破了对本节难点“等号成立的条件”的理解．“拓展延伸”给学生以发挥的空间，启发学生由已知到未知的探索能力．总之，关注基本不等式与现实的联系是这篇案例的突出特点，“问题驱动式”的设计是这篇案例成功的关键，而“从问题出发构建模型，反过来，又利用建立的模型解决开始的问题”的设计又可以使学生领略到学习数学的成功和胜利喜悦．