2020版高考数学复习选修4系列选修4-4坐标系与参数方程课件文

选修4—4坐标系与参数方程-2-知识梳理考点自诊1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:𝑥'=𝜆·𝑥,𝜆0,𝑦'=𝜇·𝑦,𝜇0的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.-3-知识梳理考点自诊2.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个O,叫做极点,自极点O引一条Ox,叫做极轴;再选定一个单位,一个单位(通常取)及其正方向(通常取方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记为.定点射线长度角度弧度逆时针距离|OM|ρxOMθ(ρ,θ)M(ρ,θ)-4-知识梳理考点自诊3.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ).互化的前提条件互化公式(1)极点与原点重合;(2)极轴与x轴非负半轴重合;(3)取相同的长度单位x=ρ𝑐𝑜𝑠θ,y=ρ𝑠𝑖𝑛θ,①ρ2=x2+y2,𝑡𝑎𝑛θ=yx(𝑥≠0)②(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).-5-知识梳理考点自诊4.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=.(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:①直线过极点:θ=θ0和;②直线过点M(a,0),且垂直于极轴:;③直线过,且平行于极轴:.5.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程:①圆心位于极点,半径为r:ρ=;②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=;③圆心位于,半径为a:ρ=.M𝑏,π2M𝑎,π2ρ0sin(θ0-α)θ=π+θ0ρcosθ=aρsinθ=bρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+𝜌02-r2=0r2acosθ2asinθ-6-知识梳理考点自诊6.曲线的参数方程定义:在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡),并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的,其中变数t称为.(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为𝑥=𝑥0+𝑡cos𝛼,𝑦=𝑦0+𝑡sin𝛼(t为参数).t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0,y0)的数量,即|t|=|𝑃0𝑃|,t可正,可负.使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为12(t1+t2).参数方程参数-7-知识梳理考点自诊(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为𝑥=𝑎+𝑟cos𝜃,𝑦=𝑏+𝑟sin𝜃.(θ为参数).(3)椭圆方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的参数方程为𝑥=𝑎cos𝜃,𝑦=𝑏sin𝜃(θ为参数).(4)抛物线方程y2=2px(p0)的参数方程为𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡(t为参数).-8-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.()(2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.()(3)如果点P的直角坐标为(-√2,√2),那么它的极坐标可表示为2,3π4.()(4)参数方程𝑥=-1-𝑡,𝑦=2+𝑡(t为参数)所表示的图形是直线.()(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.()××√√×-9-知识梳理考点自诊2.直线l的参数方程为𝑥=-√3𝑡,𝑦=1+3𝑡(t为参数),则l的倾斜角大小为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6C解析:由𝑥=-√3𝑡,𝑦=1+3𝑡,可以得到直线l的方程为y=1-√3x.所以直线l的斜率为-√3,倾斜角为2π3,故选C.-10-知识梳理考点自诊3.在极坐标系Ox中,方程ρ=2sinθ表示的圆为()D解析:由题意得,方程ρ=2sinθ表示以为圆心,半径为1的圆,故选D.(1,π2)4.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点到直线l的距离为.(2,π6)2解析:∵ρsinθ=3,∴它的直角坐标方程为y=3.又点(2,π6)的直角坐标为(√3,1),由点到直线的距离公式得d=|3-1|=2,故答案为2.-11-知识梳理考点自诊5.(2018全国1,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.-12-知识梳理考点自诊当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-𝑘+2|𝑘2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|𝑘+2|𝑘2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.-13-考点1考点2考点3考点4参数方程与极坐标方程间的互化例1(2016全国1,文23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.𝑥=𝑎cos𝑡,𝑦=1+𝑎sin𝑡考点5-14-考点1考点2考点3考点4解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.𝜌2-2𝜌sin𝜃+1-𝑎2=0,𝜌=4cos𝜃.考点5-15-考点1考点2考点3考点4解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程.2.将参数方程化为直角坐标方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.考点5-16-考点1考点2考点3考点4对点训练1(2019届广东六校第一次联考,22)在平面直角坐标系中,将曲线C1向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,C1的极坐标方程为ρ=4cosα.(1)求曲线C2的参数方程;(2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形,求内接矩形MNPQ周长的最大值,并求周长最大时点M的坐标.12考点5-17-考点1考点2考点3考点4解(1)由ρ=4cosα得ρ2=4ρcosα,将𝜌2=𝑥2+𝑦2,𝜌cos𝛼=𝑥,代入,整理得曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,设曲线C1上的点为(x',y'),变换后的点为(x,y).由题可知坐标变换为𝑥=𝑥'-2,𝑦=12𝑦',即𝑥'=𝑥+2,𝑦'=2𝑦代入曲线C1的普通方程,整理得曲线C2的普通方程为𝑥24+y2=1,∴曲线C2的参数方程为𝑥=2cos𝜃,𝑦=sin𝜃,(θ为参数).考点5-18-考点1考点2考点3考点4(2)设四边形MNPQ的周长为l,设点M(2cosθ,sinθ)(0≤θ≤π2),l=8cosθ+4sinθ=4√5(2√5cosθ+1√5sinθ)=4√5sin(θ+φ),且cosφ=1√5,sinφ=2√5,∵0≤θ≤π2,∴φ≤θ+φ≤π2+φ.∴lmax=4√5.且当θ+φ=π2时,l取最大值,此时θ=π2-φ,所以,2cosθ=2sinφ=4√5,sinθ=cosφ=1√5,此时M(4√55,√55).考点5-19-考点1考点2考点3考点4求距离的最值例2(2017全国1,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为𝑥=3cos𝜃,𝑦=sin𝜃,(θ为参数),直线l的参数方程为𝑥=𝑎+4𝑡,𝑦=1-𝑡,(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为√17,求a.考点5-20-考点1考点2考点3考点4解(1)曲线C的普通方程为𝑥29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由𝑥+4𝑦-3=0,𝑥29+𝑦2=1,解得𝑥=3,𝑦=0或𝑥=-2125,𝑦=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=|3cos𝜃+4sin𝜃-𝑎-4|√17.当a≥-4时,d的最大值为𝑎+9√17.由题设得𝑎+9√17=√17,所以a=8;当a-4时,d的最大值为-𝑎+1√17.由题设得-𝑎+1√17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.考点5-21-考点1考点2考点3考点4解题心得1.求点到直线距离的最大值,一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值.2.求三角形面积最值时,若其中一边的长为定值,三角形面积最值可转化为距离最值.考点5-22-考点1考点2考点3考点4对点训练2(2018广东东莞考前冲刺,22)在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为𝑥=1+2cos𝛼,𝑦=2sin𝛼(α为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ-π4)=1-√22.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)若直线l与圆C交于A,B两点,M是圆C上不同于A,B两点的动点,求△MAB面积的最大值.考点5-23-考点1考点2考点3考点4解(1)圆C的普通方程为(x-1)2+y2=4,直线l的方程可化为ρsinθ-ρcosθ=√2-1,即直线l的直角坐标方程为x-y+√2-1=0.(2)圆心C到l的距离为d=|1-0+√2-1|√2=1,所以|AB|=24-1=2√3,又因为圆C上的点到直线l的距离的最大值为r+d=2+1=3,所以(S△MAB)max=12×|AB|×3=12×2√3×3=3√3,即△MAB面积的最大值为3√3.考点5-24-考点1考点2考点3考点4求平面图形面积的最值例3(2