定积分的概念及性质

第五章积分学不定积分定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质第五章教学目的与要求：•理解定积分的概念•了解定积分的几何意义•重点：定积分的概念一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.?A)(xfy矩形面积梯形面积abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放曲边梯形如图所示，,],[1210bxxxxxabann个分点，内插入若干在区间abxyoiix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iiixfA)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为1xix1ixayo解决步骤小结:1)分割(大化小)：在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)以直代曲：(常代变)在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi3)求和(近似和)：.niiAA1niiixf1)(4)取极限.令则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limayo1xix1ixiix1ix1xi2x元素法1分割(化整为零)2以直代曲(以常代变)iiixfS)(3求和(积零为整)yxoy=f(x)1nxniiixfS1)(ab..分法越细，越接近精确值◇曲边梯形的面积f(i).ix1ixi元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲(以常代变)3求和(积零为整)niiixfS1)(iiixfS)(◇曲边梯形的面积.f(i)ix1ixi元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细..分法越细，越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲(以常代变)3求和(积零为整)niiixfS1)(iiixfS)(◇曲边梯形的面积f(i)Sab...niiixf1)(lim记S=.baxxfd)(.2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.已知速度思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．解决步骤:1)分割(大化小).将它分成在每个小段上物体经2)以直代曲(常代变).得iiitvs)(),,2,1(nin个小段过的路程为3)求和(近似和).4)取极限.上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“分割(大化小),以直代曲(常代变),求和(近似和),取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，二、定积分的定义1.定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在2.可积的充分条件:区间],[ba上可积.,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba3、定积分的几何意义各部分面积的代数和几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(例1利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)nio1xy2xy小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixxnnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.31o1xyni2xy[注]利用,133)1(233nnnn得133)1(233nnnn1)1(3)1(3)1(233nnnn1131312233两端分别相加,得1)1(3n)21(3nn即nnn3323nii12332)1(nnnnii1261)12)(1(nnn)21(3222n例2利用定义计算定积分.121dxx解在]2,1[中插入分点12,,,nqqq,典型小区间为],[1iiqq，（ni,,2,1）小区间的长度)1(11qqqqxiiii,取1iiq，（ni,,2,1）iinixf)(1iniix11)1(1111qqqiniiniq1)1()1(qn取2nq即nq12),12(1nn)12(lim1xxxxxx112lim1,2ln)12(lim1nnn,2lndxx211iniix101lim)12(lim1nnn.2lniinixf)(1121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例3.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd110x01ni1ni说明:,],[)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:),,1,0(nixiaxi,nabx),,1,0()(niyxfii记baxxfd)(.1xyxyxyn110)(110nnabyyy将[a,b]分成n等份:abxoyix1ix(左矩形公式))(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(.2xyxyxyn21baxxfd)(.3xyyii][211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森abxoyix1ix公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.例4设函数)(xf在区间]1,0[上连续，且取正值.证明nnnnfnfnf21limnnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf21lim试证.10)(lndxxfe利用对数的性质得nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1指数上可理解为：)(lnxf在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n等分分点为nixi，（ni,,2,1）nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim110)(lndxxf故nnnnfnfnf21lim.10)(lndxxfe因为)(xf在区间]1,0[上连续，且0)(xf所以)(lnxf在]1,0[上有意义且可积,对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．1、基本内容三、定积分的性质证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cba假设bca性质3abccadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10.0)(badxxf性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx性质5的推论：证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)