一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法

资料有大小学习网收集课题：一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法目标：1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。难点：正确串根。过程：一、复习引入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。2．一元二次不等式的解法步骤。引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。二、新课⒈一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式0)1)(4(xx.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：0401xx与0401xx的解集的并集，即{x|0401xx}∪0401|{xxx}=φ∪{x|-4x1}={x|-4x1}.书写时可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)00401xx或0401xxx∈φ或-4x1-4x1，资料有大小学习网收集∴原不等式的解集是{x|-4x1}.小结：一元二次不等式)a()cbxax(cbxax00022或的代数解法：设一元二次不等式)a(cbxax002相应的方程)a(cbxax002的两根为2121xxxx且、，则00212)xx)(xx(acbxax；①若.xx,xx,xx,xx.xx,xx,xx,xx,a2121212100000或或则得当21xx时，得1xx或2xx；当21xx时，得1xx,Rx且.②若.xx,xx,xx,xx.xx,xx,xx,xx,a2121212100000或或则得当21xx时，得21xxx；当21xx时，得x.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4x1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)0；解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3；③列表如下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+资料有大小学习网收集各因式积-+-+④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2x1或x3}.小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)0(0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)0.{x|-1x0或2x3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解例2图练习图直接写出解集：{x|-2x1或x3}.{x|-1x0或2x3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解，称之为串根法①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)0(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿资料有大小学习网收集解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1x2或2x3}.说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)20；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2．分式不等式的解法例4解不等式：073xx.错解：去分母得03x∴原不等式的解集是3x|x.解法1：化为两个不等式组来解：∵073xx07030703xxxx或x∈φ或37x37x，∴原不等式的解集是37x|x.解法2：化为二次不等式来解：∵073xx070)7)(3(xxx37x，资料有大小学习网收集∴原不等式的解集是37x|x说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是{x|-7x3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)x(g)x(f的形式.例5解不等式：0322322xxxx.解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322xxxx0320)32)(23(222xxxxxx0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(xxxxxx，∴原不等式的解集为{x|-1x1或2x3}.练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式253xx.答案：1.⑴{x|-5x8}；⑵{x|x-4,或x-1/2}；2.{x|-13x-5}.练习：解不等式：123422xxxx.（答：{x|x0或1x2}）三、小结1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)x(g)x(f0(或)x(g)x(f0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(xgxgxfxgxgxf或，即转化资料有大小学习网收集为一次、二次或特殊高次不等式形式.3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4．注意必要的讨论.5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.四、布置作业五、思考题：1．解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)0.解：①将二次项系数化“+”为：(x2-x-12)(x+a)0，②相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？③讨论：ⅰ当-a4，即a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-3x4或x-a}.ⅱ当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-3x-a或x4}.ⅲ当-a-3，即a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-ax-3或x4}.ⅳ0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|x-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|x4}.资料有大小学习网收集．若不等式13642222xxkkxx对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.(提示：4x2+6x+3恒正)（答：1k3）