清华大学2017年暑期学校测试真题

清华大学2017年暑期学校测试真题1.已知221axfx=+b,gx=fxxc，其中a，b，c为已知参数，且a≠0，c0。则以下判断中正确的有______。①f(x)关于点(0，b)成中心对称；②f(x)可能在(0，+∞)上单调递增；③f(x)有界；④g(x)=0的解可能为{±1，±2}【解答】①函数f(x)的定义域为R，且2fx+f-xb，于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。②当x0时，有afxbcxx，于是函数f(x)在xc两侧的单调性必然不同，命题错误。③由于,0,0bxafxbxcxx，于是f(x)的值域为||2,||2bacbac，进而f(x)为有界函数，命题正确。④方程0gx即1fx，它的解集关于原点对称，于是b=0，若g(x)=0的解为x=±1，±2，则关于x的方程20xaxc的解集为{1，2}或{-1，-2}，从而2233,22xxfx=fx=xx和满足要求，命题正确。772和f(x)=x+2满足要求，命题正确，如图2.已知无穷数列{}na满足11nn+naa=a，则1a的取值范围是______。【解答】情形一1a=0，则na=0(n∈N*)，符合题意。情形二1a≠0，则na≠0(n∈N*)，根据题意，111(1)nnnnaa，于是1111nnaa，因此1111nana，于是，*11,akNk。综上所述，1a的取值范围是*1|,NRxxkxk，3.已知2221fx=xxa，若存在0x，使得00[,2]|0xxxfx，则a的取值范围是______。【解答】根据题意，关于x的方程2221=0xxa的两根之差的绝对值不小于2，也即2224(1)2a，解得a的取值范围是[-1，1]【解答】[-1，1]4.黑板上写有1，2，…，2017这2017个数，每次操作任意擦去其中的某三数a，b，c，写上a+b+c除以11的余数，则黑板上最后剩下一个数的所有可能为______。【解答】由于1+2+…+2017模11的余数为10，于是黑板上最后剩下的一个数模11的余数必然为10，必然在集合1110|0182mm中，容易构造最后一个数为10，21，32，…，2012中的任意一个数的例子5.已知双曲线22221xyab，2F为其右焦点，O为坐标原点，若左支上存在一点P使得2FP中点M满足1||8OM=c，则双曲线的离心率e的取值范围是______。【解答】设1F为双曲线的左焦点，则根据中位线定理，11|PF|2|OM|=4c于是104cca解得314ca因此双曲线的离心率的取值范围是31,4，6.曲线C：2222(1)(1)3xyxy，以下判断中正确的有______。①曲线C过点(0，0)；②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2]③曲线C关于x轴对称；④P为曲线C上的动点，A，B的坐标为(0，1)和(0，-1)，则△PAB的面积的最大值为32【解答】记2222,(1)(1)fxyxyxy。①由于f(0，0)=1≠3，于是点(0，0)不在曲线C上，命题错误；②根据题意，22222223(1)(1)(1)(1)|1|xyxyyyy，于是22y，等号当x=0时取得，结合连续性可知曲线C上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2]，命题正确；③由于fxy=fx-y，，，于是C关于x轴对称，命题正确；④根据②，点P位于(0，2)时，△PAB的边AB上的高取得最大值为2，此时△PAB面积取得最大值为2，命题错误。7.已知空间一球，SC为其直径且|SC|=4，A，B为球上两点，满足|AB|=3，且∠ASC=∠BSC=30°，则四面体S-ABC的体积为______。【解答】由于SC为球的直径，于是∠SAC=∠SBC=90°于是△SAC与△SBC全等，进而SA=SB，CA=CB设AB的中点为M，则SM⊥AB，CM⊥AB推出AB⊥平面SMC，所以AB⊥SC。在△SAC中作AH⊥SC于点H，连结BH，则SC⊥平面ABH。因此113343334S-ABCV=ABHSC8.已知一个四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为______。【解答】3如图，直角三角形有△PAD，△PDC，△PAB9.已知整数a，b，c为三角形的三边长，其中a≤b≤c，且b=10，则符合条件的(a，b，c)的个数为______。【解答】55根据题意a≤10≤ca+10，于是符合条件的(a，b，c)的个数为10155aa。10.在一个44的表格中填入8个1，使得任意每行以及每列都有2个1，则不同的填法数为______。【解答】把每行的填法记为第一类：A：1100，A：0011第二类：B：1010，B：0101第三类：C：1001，C：0110情形一：4行的填法均为间一类，则必然为XXXX，有24318C种填法。情形二：4行的填法为两类，则必然为XXYY，有443A72种填法；情形三：4行的填法为三类，则必然有某列中有3(或以上)个1或者1(或以下)个1，不可能因此不同的填法总数为9011.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且2223(c)S112abc，，求3b-a的最大值______。【解答】根据余弦定理312cossin122abCabC于是6C，根据正弦定理，sinsin33sinsinBAbaccCC23sin2sin523sin2sin63sincos2BABBBB等号当2,36BA时取得，因此求最大值为2.12.投掷一枚均匀的硬币，若出现两次正面朝上的情况即停止投掷，问总投掷次数的数学期望______。【解答】设所求数学期望为x，考虑前两次投出的结果可得111(1)220244xxx，解得6x。13.已知曲线222212C:y5C:y14xx，，试证明：对1C上的任意直径AB，均存在1C上的动点P，使得PA,PB均与2C相切______。【解答】欲证命题即过为曲线1C上任意一点作2C的两条切线，这两条切线互相垂直。设过点00Pxy，的椭圆的切线为000AxxByy其中22005xy，则根据直线与椭圆位置关系的等效判别式，有222004ABABy0x，即22220000(4)A(1y)B2ABy0xx，于是根据韦达定理以及2200(4)(1y)0x可得两条切线互相垂直，命题得证。14.已知O为坐标原点，01AOOAOA()nnnnxy，且，，其中,Z||3nnnnxyxy且。(1)求3OA的最大值；(2)求2017OA的最小值。【解答】(1)根据题意，22|()|||||3nnnnnnxyxyxy，于是等号当112233()()()(30)xyxyxy，，，，时取得，因此所求最大值为9。(2)注意到20172017201711OA,kkkkxy而20172017201720171111||||1(mod2)kkkkkkkkxyxy于是2017OA0又取112233()(1,2),()(1,2),()(12)xyxyxy，，，，以及22222323()(30),()(30),1,2,...,1007kkkkxyxyk，，，，，则有2017OA(0,1)于是2017OA的最小值为115.已知罗尔中值定理：若函数f(x)满足：①f(x)在[a，b]上连续；②f(x)在(a，b)上可导；③f(a)=f(b)，则存在：∈(a，b)，使得'0f。(1)试证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足：①f(x)在[a，b]上连续；②f(x)在(a，b)上可导，则存在∈(a，b)，使得f(a)-f(b)=(a-b)'f；(2)设f(x)的定义域与值域均为[0，1]，f(0)=0，f(1)=1且f(x)在其定义域上连续且可导。求证：对任意正整数，存在互不相同12,,[01]nxxx，，使得12'''nfx+fx+?+fx=n。fbfbgxfxxaba对该函数应用罗尔中值定理即得。(3)把区间[0，1]划分为n个区间11210,,,,...,,1nnnnn，对f(x)在每个区间应用拉格朗日中值定理，可得存在1,ininixnn，使得11'ininifffxnnn，其中12ni，，，，把这n个等式相加即得。16.记|A|表示集合A中的元素个数，A+B={a+b|a∈A，b∈B}，若1|AA|A(|A|1)2，则称集合A有性质T。(1)设A=12n{}aaa，，，，na为等比数列且各项为正有理数，证明A有性质T。(2)已知A，B均有性质T，且|A|=|B|=n，求|A+B|的最小值。【解答】(1)设等比数列na的公比为q，且sqt，其中s，t∈N*，(s，t)=1只需要证明若1234nnnn，则1423nnnnaaaa，也即3142nnnnqqqq也即3121411nnnnnnqqq也即314321424141nnnnnnnnnnnnststts由于左边是t的倍数而右边不是t的倍数，因此命题得证。(3)集合A有性质T等价于集合A中任意两个元素(可以相同)的和均不同，也即集合A中任意两个不同元素的差的绝对值均不相同。这是因为若abcd，则  adbcdcba定义|,,AababAab则对于n元集合A，有11||||22nnnnAAA,考虑A+B，有ijkiikijababaabb,于是2211||||22nnnnABnABn等号当AB时取得(取A=B即可)，因此所求最小值为12nn.本文档由华夏园教育提供