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1清华大学2016年暑期学校测试真题1.已知20log13a且1a,则a的取值范围是.【答案】20,3【解析】根据题意,有23log1a,于是a的取值范围是20,3.2.在锐角ABC中,7,3,sin7sin23abAB,则ABC的面积是.【答案】332【解析】解法一:由正弦定理可得1772233abR,其中R为ABC外接圆半径,于是3sin22aAR,从而根据余弦定理2222cosbcabcA,解得1c(此时B为钝角,舍去)或2c.因此ABC的面积133sin22SbcA.解法二:根据正弦定理7sinsinsin3sinBaBbAA,于是3sin2A,其余同解法一.3.已知椭圆22132xyC:的左、右焦点分别为1F,2F,过点2F作直线1l与椭圆交于A,C两点,直线1l的2斜率为1,过点1F作直线2l与椭圆交于B,D两点,且ACBD,则四边形ACBD的面积是.【答案】9625【解析】由焦点弦长公式,可得四边形ACBD的面积222222221211229622coscos25ACBDababSACBDacac其中1233,2,1,,44abc.4.在正方体1111ACBDACBD的底面1111ACBD内有一点M,且1//BMADC平面,则1tanDMD的最大值是.【答案】2【解析】作平面11BAC,如下页图,根据题意,点M在线段11AC上运动.于是1111111tan2,DDDDDMDDMdDAC,当M位于11AC的中点时取得等号,因此所求的最大值为2.5.已知集合22|230|0=3,5AxxxBxxaxbABRAB,,,,则ab.【答案】-9【解析】根据题意,13,A,于是1,5B,从而由韦达定理得154,155ab,于是9ab.36.圆心为点0,1的单位圆沿x轴正向滚动,初始时刻点P的坐标为0,0O,当圆心运动到,12时,点P的坐标为.【答案】1,12【解析】先考虑旋转,则整个圆顺时针旋转了2,于是点0,0旋转到点1,1;再考虑平移,可得1,12P7.已知等差数列na的前n项和为nS,且1052016S,2016105S,则2121S.【答案】-2121【解析】根据题意,关于n的方程2121nSn有两个实数根105n和2016n,考虑到nfnSn形如2ann,因此由1052016ff可得,2121105201600fff.备注:一般地,若等差数列的前n项和nS满足pSq且qSp,则pqSpq.8.数列na满足111nnaa,nN,12a,已知na的通项可以表示成sinAnB的形式,则数列na通项的一个表达试为.【答案】213sin332n【解析】根据题意,有112,,1,2,,1,22na:于是考虑周期为3,对应23,4由12312,,12aaa得sin1,2sin2,341sin,32ABABAB解得12B,23A,取3A,于是可取3.9.定义11MxMfxxM,,,且|1MNMNxfxfx.集合|,,12016AxxkkNk,集合|2,,12016BxxkkNk.(1)求2016Af,2016Bf.(2)设cardX为集合X的元素个数,求mcardXAcardXB的最小值.【解析】(1)根据Mfx的定义,有20161Af,20161Bf.(2)设集合X中有0x个元素既不在A中也不在B中,1x个元素只在集合A中,2x个元素只在集合B中,3x个元素同时在集合A,B中,如图.则021301230322220162016210082016mcardXAcardXBxxcardAxxxxcardBxxcardAcardBxxcardAcardBcardAB5当00x,3xcardAB时等号成立,即ABX,且XAB时可取到最小值,也可以直接取XAB,因此所求的最小值为2016.10.已知sinfxAxB,自变量、相位、函数值的部分取值如下表x3712x0236fx13(1)求fx的解析式;(2)求fx的单调递增区间;(3)求fx在0,2内的所有零点.【解析】(1)根据题意25=2sin139fxx,也即24=2sin139fxx.(2)函数fx的单调递增区间为173,31212kkkZ.(3)函数fx的零点形如2472396xk,或24112,396xkkZ,解得其在0,2内的所有零点为1312x.611.已知圆22:16Oxy,,AB为圆O与x轴的两个不同的交点,12,ll是圆O在点,AB处的切线,P为圆上不与,AB重合的点,过点P的切线交12,ll于,CD两点,AD与BC交于点,Mmn.(1)求m与n之间的数量关系;(2)存在一点,0Qa且0a,使得QM的最小值是72,求a的值.【解析】(1)如图,设P在x轴上的投影为H,则由梯形的性质可得其对角线的交点M为线段PH的中点.因此m与n之间的数量关系为2210164mnn.(2)根据题意22222221341+444433aQMmanmamma,由于0n,44m,因此只有22444,3174,32aa解得332a.712.已知直线l为曲线ln:axCyx在点1,a处的切线.(1)求直线l的方程(2)求证:当1a时,直线l除切点外恒在C的上方.【解析】(1)记ln=axfxx,则fx的导函数21lnaxfxx,于是切线l方程为121yaxa.(2)只需要证明当1a时,有ln0,1,121axxxaxax,也即220,1,1ln0xxxaxxx.因此只需要证明220,1,1ln0xxxxxx.即0,1,ln10xxxx.这显然成立,因此原命题得证.本文档由华夏园教育提供
本文标题:清华大学2016年暑期学校测试真题
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