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第四讲二项分布及其它离散型随机变量的分布第一节二点分布1、贝努里试验指只有两个可能结果的随机试验。在现实生活中许多随机现象只有两种结果,如,男-女;出现-不出现;合格-不合格等。关注的结果---“成功”;另一结果—“失败”2、n重贝努里试验如果试验在相同的条件下重复n次,并且每次的试验结果相互独立,则称n重贝努里试验。3、二点分布----一次贝努里试验的概率分布;二项分布----n次贝努里试验的概率分布;4、二点分布是二项分布的特殊情况5、二点分布:分布列:6、二点分布的性质1)P(=0)0P(=1)02)P(=0)+P(=1)=q+p=13)二点分布的期望与方差E()=0·q+1·p=pD()=E(2)(E)2=02·q+12·pp2=pp27、二分变量中取值0和1只表示定类变量的编码,这种变量又称虚拟变量。变量的取值只有两类;x0代码:0、1;1pqpRnnnnnPnnn1nm1P第二节排列不组合一、排列1、重复排列:2、非重复排列:3、全排列mmmn!nm!nnn!例:任选5个数字,可组成多个编号?30人的班级,任意安排2人担任正副班长,有多少种排法?5种户型的住房,分给5人,有多少种分配方案?二、组合:例:家庭成员共8人,问有多少对人际关系?(2人形成一对人际关系,且与方向无关)PPCmnmmmnn!m!nm!nn1nm1m!第三节二项分布一、二项分布(n:实验次数P:A在每次实验中出现的概率)1、与二点分布的区别将同样的实验或观察,独立的重复n次例:连续投掷硬币四次2、推广:PxCnxPx1Pnx3、二次分布的定义:n次实验中事件A出现次数的概率分布。简写为:Bn,pP0mCnpqPmnCnpqPabCnpq二、变量在某一取值区间的概率1)A至多出现m次的概率2)A至少出现m次的概率3)A出现次数不少于a不大于b的概率nxxxmx0nxmnxxxbxanxxx例:教师中吸烟的比例为50%,随机抽查教师10人,求概率:1、全不吸烟2、1人吸烟3、至少2人吸烟4、2-4人吸烟ExPxxCnpq三、二项分布的数学期望6、查表方法nxxxnpnnx0x05、二项分布的方差等于22例:根据生命表,年龄为60岁的人,可望活到下年的概率P=0.95。设某单位年龄为60岁的人共有10人,问:(1)其中有9人活到下年的概率为多少(2)至少有9人活到下年的概率为多少(3)至多有9人活到下年的概率为多少PxPxPxP1x1P2x21P1P212第四节多项分布以三项分布作为研究对象,依此类推123123n!x1!x2!x3!三项分布:Px1,x2,x3因为:x1x2x3nP1P2P31所以,三项分布也可写成:nxxn!x1!x2!nx1x2Px1,x2例:1、某班有学员30名,其中兄弟民族13名。任抽5名,求其中兄弟民族人数的概率分布。2、一批产品共20件,其中6件不合格。任抽3件,求不合格产品的概率分布。第五节超几何分布1、适用条件:小群体研究2、例:设小组共有10名成员,7男3女。从中任抽3名,求其中男性人数的概率分布。CCC超几何分布的概念及公式设总体性质共分为两类:A类和非A类。总体总数N。A类共有m个,从中任抽n个(nN-m),则n中含有A类个数“”的概率分布为(x=0,1,……)当N很大,n较小时,超几何分布近似二项分布。nNxmnxNmPx第六节泊松分布一、公式:它是二项分布(n,p)的极限分布,只有一个参数λ。ePxx!DEExx!e泊松分布参数的实际内容为它是其分布的数学期望或方差。应用:设在填写居民身份证1000张卡片中,共发现错字300个,问每张居民身份证出现错字数的概率分布如何?二、泊松分布的性质1、泊松分布为离散型随机变量分布,取值为0和一切正整数。X=0,1,2,……2、泊松分布的数学期望和方差xx0x!2222x0x续前3、当P0.1,甚至在n不必很大的情况下,这种近似也存在,当n10时,这种近似程度就很好了例题已知某校有5%的学生是贫困生,随机抽出50人,求下列情况的概率:1、至多2位贫困生2、至少1位贫困生解设贫困生数为X,则X~b(50,0.05),n很大,p很小,近似服从泊松分布。λ=50*0.05=2.51、查累积泊松分布表,p(x≤2)=0.54382、p(x≥1)=1-p(x=0)=0.9179续泊松分布的性质4、泊松分布适合稀少事件的研究,也就是P值都很小的情况。对于事件流,如果满足以下三个条件:1)稳定性:概率规律在时间上是不变的2)独立性:在不相交的时间间隔内,发生两个以上事件是相互独立的3)普遍性:在同一瞬间内,发生两个以上事件是不可能的。则:随机事件发生次数的概率分布满足泊松发分布。如:同一地点的交通事故。例某城市一交叉路口每年平均发生交通事故5起,如果交通事故的发生服从泊松分布,在指定的一年内以下交通事故发生的概率是多少?1、8次或以上2、不多于2次3、3-11之间
本文标题:社会统计学(卢淑华)-第四章
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