电机控制的Clarke变换的等幅值变换和等功率变换

Clarke变换的等幅值变换和等功率变换CollectedbyJaySur@SCUT2016永磁交流伺服电动机的定子磁场由定子的三相绕组的磁势(或磁动势)产生的，根据电动机旋转磁场理论可知，向对称的三相绕组中通以对称的三相正弦电流时，就会产生合成磁势，它是一个在空间以ω速度旋转的空间矢量。如果用磁势或电流空间矢量来描述等效的三相磁场、两相磁场和旋转直流磁场，并对它们进行坐标变换，就称为矢量坐标变换。Clarke变换是三相平面坐标系0ABC向两相平面直角坐标系0的转换。1.等幅值变换在复平面上的矢量v总能够用互差120度的abc三轴系中的分量ax、bx、cx等效表示（a轴与复平面的实轴重合），如下所示（x和0x将合成矢量v）。2()abcxkxxx(1-1)00()abcxkxxx(1-2)其中，231322jej、422331322jjeej；0x的方向与复平面的实轴方向一致。所以有（1-2）式可表示为：00()abcxkxxx(1-3)写出（1-1）式的实部与虚部如下：111 Re()[()]222abcabcxkxxxkxxx(1-4)3Im()2bcxkxx(1-5)由（1-3）式可得：00bcaxxxxk(1-6)代入（1-6）到（1-4）式中可得：00001131 Re[()][()]2222abcaaaxkxxkxxxkxxkxkk(1-7)等幅值变换时，规定0 Reaxxx(1-8)代入（1-8）到（1-7）可得：00031 22aakxkxxxk(1-9)对比（1-9）式两端的ax和0x的系数可解得：23k、013k。将实轴用a轴代替，虚轴用b轴代替，代入k、0k到（1-3）（1-4）（1-5）得到Clarke变换的等幅值变换形式：021211 [()]32333233()()323111333abcabcbcbcabcxxxxxxxxxxxxxxxx(1-10)写为矩阵形式为：0111222330322111222abcxxxxxx(1-11)即，等幅值的Clarke变换矩阵为：111222330322111222ClarkeC2.等功率Clarke变换等功率矢量坐标变换必须要遵循如下原则:(1)应遵循变换前后电流所产生的旋转磁场等效；(2)应遵循变换前后两系统的电动机功率不变。将原来坐标下的电压u和电流i变换为新坐标下的u和电流i。我们希望它们有相同的变换矩阵C，因此有:uCu(2-1)iCi(2-2)为了能实现逆变换，变换矩阵C必须存在逆矩阵1C，因此变换矩阵C必须是方阵，而且其行列式的值必须不等于零。因为uzi，z是阻抗矩阵，所以111''''uCuCziCzCizi(2-3)式中，z'是变换后的阻抗矩阵，而它为1'zCzC(2-4)为了满足功率不变的原则，在一个坐标下的电功率1122Tnniuuiuiui应该等于另一坐标下的电功率1122''''''''Tnniuuiuiui，即''TTiuiu(2-5)而''''TTTTiuCiCuiCCu(2-6)为了使式(2-5)与式(2-6)相同，必须有TCCI或1TCC(2-7)因此，变换矩阵C应该是一个正交矩阵。在以上公式中，其中1C为C的逆阵;Ti为i的转置矩阵; 'Ti为i的转置矩阵;TC为C的转置矩阵;I为单位矩阵;z、z分别为阻抗矩阵;u，u'，i，i'分别为电压、电流列或行矩阵;同时,依矩阵运算法则有:1CCI;''TTTCiiC;TTkCkC;uCu，则有1uCu。图1为定子三相电动机绕组A、B、C的磁势矢量和两相电动机绕组、的磁势矢量的空间位置关系。其中选定A轴与轴重合。根据矢量坐标变换原则，两者的磁场应该完全等效，即合成磁势矢量分别在两个坐标系坐标轴上的投影应该相等，如图1所示。BCA2Ni2Ni3ANi3BNi3CNi图1矢量坐标系因此有：2333233cos120cos(120)0sin120sin(120)ABCBCNiNiNiNiNiNiNi-－(2-8)也即:3232112233022ABCBCNiiiiNNiiiN［］［－］(2-9)式中，N2、N3分别表示三相电动机和两相电动机定子每相绕组的有效匝数。式(2-9)用矩阵表示，即321112233022ABCiiNiiNi－(2-10)转换矩阵1112233022－不是方阵，因此不能求逆阵。所以需要引进一个独立i和i的新变量0i，称它为零轴电流。零轴是同时垂直于和轴的轴，因此形成0轴坐标系。定义:20333302()ABCABCNikNiNiNiNikiiiN(2-11))式中，k为待定系数。所以，式(2-10)改写成:3201112233022ABCiiNiiNiikkk－(2-12)式中，定义矩阵C为:321112233022NCNkkk－(2-13)其C的转置矩阵TC为:321013221322TkNCkNk－(2-14)求其C的逆阵1C为:123110221313222131222kNCNkk－(2-15)为了满足功率不变变换原则，有1TCC。令式(2-14)和式(2-15)相等，则有:323223NNNN；12kk可分别求得：3223NN，12k(2-16)将式(2-16)代入式(2-13)和式(2-15)，则得:111222330322111222C－(2-17)1110221313222131222C－(2-18)因此:Clarke变换(或3/2变换)式为:0111222330322111222AABBCCiiiiCiiiii－(2-19)Clarke逆变换为：1100110221313222131222AABBCCiiiiiiiCCiCiiii－3.abcdq变换整理（包含Clarke变换和Park变换）3.1恒幅值变换（1）0abcdq：022coscos()cos()33222sinsin()sin()333111222abcdqCC（2）0abc：011221cos0cos()cos()2233222233sin0sin()sin()0333322111111222222ClarkeabcCC（3）dq：cossinsincosParkdqCC1cossinsincosParkdqCC3.2恒功率变换（1）0abcdq：022coscos()cos()33222sinsin()sin()333111222abcdqCC1000()()TdqabcabcdqabcdqCCC（2）0abc：011221cos0cos()cos()2233222233sin0sin()sin()0333322111111222222ClarkeabcCC（3）dq：cossinsincosParkdqCC1cossinsincosParkdqCC