七年级几何教学的思考与实践

七年级几何教学的思考与实践------以人教版七年级上册‘余角和补角’教学为例广州市天秀中学朱平一、七年级几何教学的现状《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》中提出“图形与几何的学习中，应帮助学生建立空间观念1”。新人教版七年级教材安排了《图形认识初步》、《相交线与平行线》、《三角形》三个几何的章节，构成了初中平面几何的基础知识。但是在实际教学活动中，正是这些最基本的内容，却成为七年级数学中最难教的一个部分。笔者查阅了09年上学期天河区七年级（上）期末考试分析行动报告，在第Ⅰ卷选择题和填空题得分率最低的都是几何题目，后面的综合运用几何知识解决问题的题目得分也不理想，在全卷所有知识点得分统计中，几何知识点没有一个能够达到0.8。二、针对现状的困惑与思考在教学中常常听到听到学生抱怨：几何难。而笔者在准备《余角和补角》这节课时，查阅了过去几年校内外相关教学设计，发现类似的教学设计：总是先直接给出余角补角的定义，在学生没有形成对余角和补角的基本理解时就让学生使用概念解题，例如计算某一个角的余角或者补角的度数以及类似“一个角的余角是这个角的3倍，求这个角的度数”等题目。教学中用例题教学代替概念教学，以应用概念的过程替代理解概念的过程，学生用机械记忆替代数学思考，几何知识越多，越感觉困难。课标要求在几何学习中学生能够获得建立几何图形的知识和技能，丰富学生形象思维，提高于空间观念和想象力。结合对过去几何教学的思考，以《余角和补角》为例，笔者认为可以从以下四个方面进行教学的转变：1七年级几何内容有不少概念课，几何概念课应该怎么有效教学？2学习几何离不开图形，学生怎样做到“数”“形”结合?3七年级几何推理怎么把握尺度？4如何开展有效地小组活动，促进学生几何学习？三、几何教学的案例实践1采取两种不同的方式呈现余角和补角的概念“数学概念的教学最重要的组成部分，数学概念的本质就是概括出数学中一类事物对象的共同本质属性2”。概念的形成和概念的同化是获得概念的两种基本方式。“概念的形成是指从大量具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程”、“概念的同化是指学习者利用原有的认知结构中的观念来1中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（修改稿）[EB/OL]2007.4.何小亚姚静.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2010.39图1图2理解接纳新概念的过程3”。《余角和补角》属于概念课。首先余角的概念学生从未接触，因此笔者采用概念的形成方式开展教学活动。一通过两个引例（图1和图2）从“形”“数”两方面，引出“两个角的和等于90°”的特征，让学生初步感知余角。二设计“找余角”的数学活动，让学生动手操作，加深认识。给每个组的学生一些角的模型，让学生通过活动，进一步了解余角产生的条件，从数和形两个方面加深对余角的理解，初步地把余角转化为自身认知结构的概念体系里的概念。三反例辨析，完善余角的知识结构。这个反例是以角的对话的形式，吸引学生兴趣，他们通过分析、比较、对余角的理解更加精确。四利用填表计算余角的度数，逐步归纳出余角的几何表达式。在对余角的概念的内涵与外延已经有较为全面的理解的基础上适时引进数学符号，引导学生把图形、文字、符号三者有机联系起来。从变化图形抽象出几何模型进行直观感知，再结合数量关系给出文字的描述，最后再转化成数学符号的表示，为学生完整呈现余角定义的形成过程。而补角与余角较为类似，因此笔者采用概念的同化方式研究补角的概念。首先揭示补角的定义：如果两个角和等于180°（平角），这两个角互为补角，然后把补角的定义与余角的定义进行对比，强化两个定义之间的区别，最后是补角的简单应用及其符号表示。反思：（1）“数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以概念为基础的。所以理解概念是一切数学活动的基础，概念不清就无法进一步开展其他数学活动。4”因此在七年级几何教学中必须重视概念的教学。（2）掌握数学概念不仅要掌握概念的内涵和外延，概括出概念的定义，同时，要区分概念的肯定例证和否定例证，并通过概念的应用将抽象的概念具体化。因此几何课中首先应该重视几何概念教学，按照学生心理发展规律组织教学，提高学生对几何图形感、知觉方面的敏锐性，培养他们独立思考几何问题并逐步建立知识系统的能力。（3）概念形成和概念同化是概念学习的两种方式，对于《余角和补角》这节课，过去往往采用概念同化这种方式开展学习，即单刀直入给出余角的定义。而采用概念形成的方式学习余角的概念要前面做不少的铺垫，对于一节课的效果来说哪个更有效？哪个对学生后续的学习更有帮助？这些都值得开展进一步地教学探讨。2不断强化“数”“形”结合几何教学中不能脱离图形，而本节课，“两个角的和等于90°、两个角的和等于180°”这些“数”的特征也无处不在。因此在本节课的教学中，笔者不断渗透“数””形”结合的思想。3何小亚姚静.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2010.40-424曹才翰章建跃.中学数学教学概论（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2008.429图3引出余角的定义后，笔者设计这样的数学活动：给每个组的学生一些角的模型（如图3），有些角上面标有度数，有的角上面没有度数。请判断一下哪些角互为余角。对于有度数的角，学生通过简单的计算发现互余的角，这是体现余角的“数”的特征。而且学生会很自然的把这两个角摆放在一起，发现了拼出来的角是直角这个“形”的特征。于是对于没有度数的角，学生想到2个办法：1用量角器量每个角的度数然后求和；2把两个角摆放在一起，检查是否为直角。“数”与“形”两种办法互相补充，相得益彰。另外还有两个角的和为180°，拼起来是平角，为后面补角的学习埋下伏笔。反思：（1）在培养学生识图能力的过程中，要强调学生动手操作。在学生动手拼角的过程中。为后续抽象出余角的概念奠定了基础，引起学生的思考、探索、研究，加深对余角概念的理解。（2）“数”“形”结合体现了代数和几何中最精彩的一面，利用它可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有“数”的严谨与“形”的直观之长。在本节课《余角和补角》的教学中，不断渗透“数”“形”结合的理念，对于学生正确理解余角和补角的定义及其性质有不可或缺的作用。3简单说点理，发展几何合情推理从《图形认识初步》这章书开始，除了要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质外，还要“初步感受简单推理5”，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续。笔者秉承循序渐进螺旋上升的原则，进行如下教学设计：一在余角补角概念教学时，加强“文字语言、图形语言与符号语言的”互译。从余角文字表述，到用课件演示图形特征，最后是用符号表示：与互为余角，则90，为下面余角和补角的性质的简单推理打下基础。二在推导余角的性质的时候，先让学生从形感知，由此发现规律。通过学生的简单表述及教师的及时补充完善说理过程，提高学生从感性到理性的抽象思维能力。三在推导补角的性质时，积极引导学生养成类比的思维过程，进行学习的有效迁移，类比余角整理完善说理过程。四在练习中通过填空的形式，搭建学习平台，让学生在练习中感受简单推理，让学生进一步熟悉几何说理的表达方式。反思：（1）“于几何的概念、定理一般都使用文字语言来描述，但在具体证明中时，却先要根据题意画出图形（文字语言翻译成为图形语言），然后再用符号语言写出证明6”，因此在七年级起始阶段开展几何教学就应该关注文字语言、图形语言、符号语言的转化，使学生空间想象能力得到有效地培养。（2）学生初次接触简单的几何推理，要他们从“∠1与∠2互余”这句话转换成“∠2=90°-∠1”的形式，有一定的难度，此时可以借助的师生对话的形式，如“由∠1与∠2互余这个条件如何用一个式子表达？”让学生慢慢过渡，体会其中的转化过程，然后通过填空，完善简单几何推理过程。5广州市教育局教学究研室.广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准数学[S]2009.1966曹才翰章建跃.中学数学教学概论（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2008.1674有效地数学活动提高学生学习几何的兴趣新课标明确指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式7”。教学中要通过有效地数学活动，让学生在自主探索和合作交流中获取知识。笔者设计学生小组协作活动完成例题的学习。例题最初是这样设计的：如图，∠AOB=∠AOE=∠COD=90º小组合作：（1）找出所有互余的角（2）找出所有互补的角（3）找出所有相等的角在实际教学中发现，这里满足互余互补及相等条件的角太多了，学生完全没有协作，而且要求学生找出“所有”，没有必要。因此例题教学没有达到预期效果。于是把例题进行如下修改：让学生选适当的角填空：我选的角是_________和___________其中∠_____的余角是_______∠_____的补角是_______与∠_______相等的角是________∠_____的余角是_______∠_____的补角是_______与∠_______相等的角是________这样的设计，但是依然存在2个问题：1学生之间的任务不相同，没有交流；2学生看不懂填什么。在此基础上对本题进行如下修改：如图，∠AOB=∠AOE=∠COD=90º1组长给每个组员指定图中1~2个角2组员根据分配给自己的角，填空：组长分配给我的角这个角有没有余角？（如果有，写出来）这个角有没有余角？（如果有，写出来）有没有与这个角相等的角？（如果有，写出来）3小组交流：（1）有没有找错或者找漏了？为什么找错、找漏了？（2）怎么在图中找到互余、互补和相等的角？由组长给每个组员分配任务，可以根据学生的实际学习情况安排难易程度不相同的任务，让每个人参与数学活动。而且表格的形式可以让学生清晰明了要完成的任务，避免受其他因素影响无法获取答案。但是实践中依然没有解决小组交流的问题。结合前几次教学中出现的问题，数学活动的有效性，取决于教师对问题解读的表达和问题提出是否确切。在前面几个设计中，学生活动无法达到最终结果其重要原因是教师想学生做什么，学生不明白。最后例题设计是这样的：如图，90AOECODAOB图中的角有∠1，∠2,∠3,∠4,∠AOB,∠AOE,∠COD,∠BOD,∠COE等小组合作：在图中，1找出∠1的余角、补角及与∠1相等的角填在下面的表中。7中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（修改稿）[EB/OL]2007.4.每个组员另外选出图中的1个角（不要重复），然后找出这个的余角、补角及与它相等的角填到下面的表格中：3小组交流（1）有没有找错或者找漏的？为什么会找错、找漏了？（2）在图形中如何找互余、互补或者相等的角？首先这里清晰的要求学生找出∠1的余角补角及与∠1相等的角，通过范例，给学生明确要做什么，这个表格应该怎么填写。其次∠1的余角在图中有两个，分别是∠2和∠4，但是部分学生开始只留意到∠2是∠1的余角，这样学生之间有交流的话题。接着让学生自己选角，有利于激发学生的积极性，而且在题目中开始就给出图中所有的角的名称，避免学生填写的错误。最后在后面明确小组交流的任务，让每个学生带着问题去做题，更有方向性去思考。反思：（1）要真正有效地开展协作学习，教师依据教学内容所设计的学习共同体的学习任务是很重要的，将直接关系到学习的成效。（2）数学活动的有效性，取决于教师对问题解读及问题提出是否确切。在前面几个设计中，学生活动无法达到最终结果其重要原因是教师想学生做什么，学生不明白。“一个好的数学问题的情景对于问题解决的教学的成败起着至关重要的作用8”。因此，在教学中教师应该从多更多思考完善问题情景，提高数学活动的有效性。（3）本题学生在选择角的时候，不同的角找补角有难易差异。例如∠1和∠4的补角比较容易看出来，而∠2和∠3的补角就