导数与函数的最值

1北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》河北隆尧第一中学2一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数最大值与最小值的求法教学难点：函数最大值与最小值的求法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：3必要条件设)(xf在点0x处存在导数,且在0x处取得极值,那么必定有0)(0'xf.xyoxyo0x0x函数极值与导数函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数极值的求法求极值的步骤:1.求导，2.求极值点，3.列表，4.求极值（一）、知识回顾:4xyoaby=f(x)xxbx=bxbf’(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减f(a)f(b)xxax=axaf’(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增极大值点和极小值点统称为极值点极大值和极小值统称为极值函数极值的判定定理5结合课本练习思考极大值一定比极小值大吗？oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6x极值是函数的局部性概念结论：不一定极大值极小值极小值6导数的应用之三:求函数最值.在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.（二）、新课引入问：最大值与最小值可能在何处取得？怎样求最大值与最小值？观察极值与最值的关系：oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6x7函数的最值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？8在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)gg9(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)（三）、新课探析:求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.10(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.11oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.12例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值.法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理（四）、知识运用:一是利用函数性质；二是利用不等式；三是利用导数。注：求函数最值的一般方法：13例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值故函数f(x)在区间[1，5]内有极小值为2，最大值为11，最小值为2法二、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2。x1（1，2）2（2，5）5y/0y-+311214xOyyf(x)abxOyyf(x)ab如果函数f(x)在[a,b]上单调增加(减少)，则f(a)是f(x)在[a,b]上的最小值(最大值)，f(b)是f(x)在[a,b]上的最大值(最小值)。函数的最值一般有两种情况：（1）15xOyf(x0)yf(x)ax0bxOyf(x0)yf(x)ax0b如果函数在区间(a,b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[a,b]上的最大(小)值。函数的最值一般分为两种情况：(2)如果函数在区间(a,b)内有极值,将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.16求函数在闭区间内的最值的步骤(1)求出函数y=f(x)在(a,b)内的全部驻点和驻点处的函数值；(2)求出区间端点处的函数值；(3)比较以上各函数值，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。例1:求解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y↘-4/3+在[0,3]的最大值与最小值x0(0,2)2(2,3)3y′y4－0↗1因此,函数在[0,3]上的最大值是4，最小值是-4/3.三、例题讲解31443fxxx－+当,即,或;当,即.5．函数y＝xex在[0,2]上的最大值为________．解析：∵y′＝ex·x′－ex′xex2＝1－xex，令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．∴f(1)＝1e，f(0)＝0，f(2)＝2e2.∴f(x)max＝f(1)＝1e.答案：1e例2设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即6＋6a＋3b＝0，24＋12a＋3b＝0，解得a＝－3，b＝4.(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3)时，f′(x)0.所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，所以9＋8cc2，解得c－1或c9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).跟踪训练2已知f(x)＝－x3＋x－1，g(x)＝－2x＋m，当x∈(0,2)时，f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围．解析：∵f(x)g(x)等价于－x3＋x－1－2x＋m，x∈(0,2)，即m－x3＋3x－1，令h(x)＝－x3＋3x－1，h′(x)＝－3x2＋3，x∈(0,2)，令h′(x)＝0，则x＝1，即当h′(x)0时，0x1；当h′(x)0时，1x2.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴h(x)max＝h(1)＝1，当mh(x)max＝1，即m1时，f(x)g(x)恒成立．24求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。4,1,71862)().1(23xxxxf最大值f(1)=－29，最小值f(3)=－61课堂练习：（2）．函数f(x)＝x3－3x(－1x1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．∵－1x1，∴x21.∴3(x2－1)0，即f′(x)0.∴f(x)是(－1,1)上的减函数，f(1)f(x)f(－1)，故f(x)在－1x1时既无最大值，也无最小值，故选C.答案：C跟踪训练1求函数f(x)＝x－1ex的最值．解析：函数f(x)＝x－1ex的定义域为x∈R.f′(x)＝1·ex－exx－1ex2＝2－xex，当f′(x)＝0时，x＝2，当f′(x)0时，x2，当f′(x)0时，x2.所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝1e2.28①求函数在内的极值；)(xf),(ba1.求在上的最大值与最小值的步骤:)(xf],[ba②求函数在区间端点的值；)(xf)()(bfaf、③将函数在各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．)(xf)()(bfaf、小结2.求函数最值的一般方法：①.是利用函数性质；②.是利用不等式；③.是利用导数29祝同学们学习进步