二次函数与圆结合的综合题

1.如图，已知抛物线y=ax2+bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3（2）设∠DBC=，∠CBE=，求sin（－）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图所示，已知在直角梯形OABC中，ABOCBCx∥，⊥轴于点(11)(31)CAB，，、，．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直．线．OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（04t），OPQ△与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过OAB、、三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将OPQ△绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得OPQ△的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．∴所求抛物线解析式为21433yxx2OABCxy113PQ3．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．点B（1，4）．综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．∴y=-x2+2x+3．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于ABCD、、、四点．抛物线2yaxbxc与y轴交于点D，与直线yx交于点MN、，且MANC、分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE,延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．OxyNCDEFBMA5．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；答案∴抛物线为：2211(4)12344yxxx（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.AxyBOCD6.（1）求点C的坐标；⑵点8Qm，在抛物线216yxbxc上，P点为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB最小值．⑶CE是过点C的M⊙的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．则抛物线的解析式为：故C（0，2）；