函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用(终极完整无敌升华版)

1函数项级数一致收敛性判别法及其应用栾娈20111101894数学科学学院数学与应用数学11级汉班指导老师：吴嘎日迪摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法.关键词:一致收敛,函数项级数,和函数1.函数列与一致收敛性(1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{Sn（x）}(或函数项级数1)(nnxu的部分和序列)。若对任给的0，存在只依赖于的正整数N（），使nN（）时，不等式)()(xSxSn对X上一切x都成立，则称{Sn（x）}（1)(nnxu）在X上一致收敛于S（x）.一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：设SSnXxsup)()(xSxSn，如果0limSSnn就称Sn（x）在X上一致收敛于S(x).例1讨论XxnnxxSn在221)([0，1]的一致收敛性由于S（x）=0,故211)(max1nSxSSSnnxon，不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛(2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{fn}一致收敛于的f几何意义：对任给的正数，存在正整数N，对一切序号大于N的曲线y=fn(x)都落在以曲线y=f(x)+与y=f(x)-为上，下边界的带形区域内.2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）2柯西准则函数项级数)(1xukk在I上一致收敛的充要条件是;)(...)()()(-)()(,,,,0211)(xuxuxuxSxSxuIxNpNnNNNpnnnnpnpnnkkE都有及证明：必要性：已知)(1xukk在区间I一致收敛，设其和函数式S（x）,即2)()(xSxSn也有2)()(xSxSpn于是22)()()()()()()()()()()(1xSxSxSxSxSxSxSxSxSxSxunpnnpnnpnpnnkk充分性：已知IxNpNnNNN及,,)(,0有)(-)()(1xSxSxunpnpnnkk从而)(1xukk在区间收敛，没其和函数是S（x）,因为p是任意正整数，所以当p时，上述不等式有)()(xSxSn即函数项级数)(1xukk在区间I一致收敛.余项准则函数列{f}n在D上一致收敛于f的充要条件是0)()(suplimxfxfnDxn3.函数项级数一致收敛判别法（1）充分条件定理1（魏尔斯特拉斯判别法）若对充分大的n,恒有实数na使得nnaxu)(对X上任意的x都成立，并且数项级3数)(xuann收敛，则在X上一致收敛.证明由na的收敛性，对任给的0,可得N（），使nN()时pnnnaaa...21（p=1,2,…）,对X上的一切的x我们有)(...)()(...)(11xuxuxuxupnnpnnpnnnaaa...21，由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论.例2若na绝对收敛，则nasinnx和nacosnx在),(内都是绝对收敛和一致收敛的级数.事实上，nnanxasin，nnanxacos，由魏尔斯特拉斯判别法即可得证.定理2(阿贝尔判别法)若在X上)(xbn一致收敛，又对X中每一固定的x,数列)(xan单调.而对任意的n和X中每个x，有Lxan)(（不依赖于x和n的定数），那么)()(xbxann在X上一致收敛.这个定理与数项级数的阿贝尔定理相似，其证明也大体相同，只要利用阿贝尔引理即可。事实上，由)(xbn的一致收敛性，对任意给定的0,可得N（），使nN()时恒有)(...)(1xbxbpnn（p=1,2…），固定x,由上式及)(xan的单调性，利用阿贝尔引理得到,...)2,1);((3)(2)(()()(...)()(111pNnLxaxaxbxaxbxapnnpnpnnn再从一致收敛的柯西充要条件即可.例3设级数na收敛，证明nxnxana0lim.证明：因为11xn，且,...)2,1),,0[()1(11nxnnxx，故}1{xn单调且一致有界，又级数na收敛，即na在),0[上一致收敛，所以由阿贝尔判别法知，4xnna在),0[上一致收敛，又),0[...)2,1(在nnaxn上连续，故xnna在),0[上也连续，即nxnxxnxanana00limlim.定理3（狄利克雷判别法）设1)(nnxb的部分和)()(1xbxBniin在X上一致有界，又对X内每一x,数列)(xan单调，并且函数列{)(xan}在X上一致收敛于零，则)()(xbxann在X上一致收敛.证明设Lxbnnii1)((不依赖于n和x的定数)，那么对X上任意的x和任意的正整数p恒有Lxbxbxbiipniii2)()()(11因此，利用阿贝尔引理))(2)((2)()(11xaxaLxbxapnnpnniii，再由)(xan一致收敛于零即得.例3讨论1221)1()1(nnnxx的一致收敛性设nnnnxxxxa)1()(,)1()(22易见对一切n及),(x都有1)(1nknx，即一致有界，另外，对任意固定的),(x都有5111)1()1(2221221xxxxxaannnn所以)(xan对任意的x单调递减，并且有011)1()(2222nnxxxxxann)(n故)(xan在),(上随n而一致收敛于零.依狄利克雷判别法知级数），在（-)1()1(1221nnnxx内一致收敛.（2）必要条件函数项级数)(xun在数级D上一致收敛的必要条件是函数列)}({xun在D上一致收敛于零.4.由极限的夹逼原理得到的一致收敛判别法定理4:已知11)(),(nnnnxvxu在I上一致收敛，且NN，当时有Nn1)()()()(nnnnnxwxuxwxv则在I上一致收敛.证明：不妨设1n开始，便有)()()(xuxwxvnnn，由11)(),(nnnnxvxu在I上一致收敛，根据一致收敛的柯西准则：1,0NN，当pNnn,N，有)(...)()(21xuxuxupnnn即)(...)()(21xvxvxvpnnn而)()()(xuxwxvnnn(n=1,2,…)就必有)(...)()(21xvxvxvpnnn)(...)()(21xwxwxwpnnn)(...)()(21xuxuxupnnn此即Ixwnn在),(1上满足柯西一致收敛条件.6推论：已知数项级数11,nnnnba都收敛，若NN，当时有NnIxbxwannn,)(，则函数项级数Ixwnn在),(1一致收敛，显然当,)(wxwn即)(1xwnn为常数项级数，则可判断)(1xwnn收敛.定理5：设函数数列nbaxxun],,[)},({N.)(],[)(1aubaxunnn单调，且在及)(1bunn都绝对收敛，则级数)(1xunn在],[ba一致收敛.证明时只要注意有)(),(max)()(),(minbuauxubuaunnnnn并用定理四的推论即得.参考文献;1.欧阳光中，朱学炎，金福临等.数学分析第三版下册[M]，北京:高等教育出版社，1978,75—89.2.华东师范大学数学系.数学分析[M]，北京：高等教育出版社，1981.3.张天德，韩振来.数学分析同步辅导[M],天津:天津科学技术出版社，2010,26—29.