16---方差、相关系数及比率的显著性检验

第十六讲方差、相关系数及比率的显著性检验一方差的差异性检验二相关系数的显著性检验仅仅根据计算得到的相关系数还不足以确定变量之间是否存在相关。只有通过对相关系数显著性的检验，才能确定相关关系是否存在。对相关系数进行显著性检验包括三种情况（即三种零假设）：一是ρ=0；二是ρ=ρ0；三是ρ1=ρ2。本讲主要介绍前两种情况。1．积差相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验即样本相关系数与总体相关系数的差异检验。包括两种情况：ρ=0和ρ=ρ0对ρ=0的检验是确认相关系数是否显著；对ρ=ρ0的检验是确认样本所代表的总体的相关系数是否为ρ0。根据样本相关系数r对总体相关系数ρ进行推断，是以r的抽样分布正态性为前提的，只有当总体相关系数为零，或者接近于零，样本容量n相当大（n＞50或n＞30）时，r的抽样分布才接近于正态分布。⑴．H0：ρ＝0条件下，相关系数的显著性检验检验形式：双侧检验统计量为t，检验计算公式为：212rnrt（19．4）2ndf例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩之间存在显著相关?解：提出假设H0：ρ=0，H1：ρ≠0选择检验统计量并计算对积差相关系数进行ρ=0的显著性检验，检验统计量为t计算统计决断根据df=10-2=8，查t值表P⑵，得t(8)0.01=3.355，|t|＞t(8)0.01,则Ｐ＜0.01，差异极其显著应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究假设结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在极其显著的相关。2780.01210780.0212rnrt524.3另一种方法：查积差相关系数临界值表根据df=8，查附表7，从α=0.01一列中找到对应的积差相关系数临界值为0.765。计算得到的r=0.780，大于表中查到的临界值。因此应接受该相关关系极其显著的结论，而拒绝相关关系不显著的零假设。⑵．H0：ρ＝ρ0条件下，相关系数的显著性检验ρ≠0时，r的抽样分布呈偏态，不能用上述公式计算。因此可先将r与ρ都转换成Zr，因为Zr的分布无论ρ的大小都近似于正态分布，于是不受ρ＝0这一条件的限制。检验统计量的计算公式为：331nZZnZZZrr（19．5）2．其它相关系数的显著性检验斯皮尔曼等级相关系数的显著性检验，可直接查相关系数临界值做出判断。其它相关系数的显著性检验可根据教材P250－P253页的各种方法进行。即对样本比率与总体比率之间是否存在显著差异进行检验。•正态近似法：•依据：（1）当p=q，无论N的大小，二项分布呈对称分布；（2）当pq且np=5时，或pq且nq=5，二项分布开始接近正态。•步骤：•建立假设：•虚无假设：P=P0；PP0；PP0；•备选假设：PP0；PP0；PP0；三总体比率的假设检验•选择检验统计量并计算•Z分布•确定检验形式•双侧•单侧•进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较Z与Z，从而确定该样本的P是否为小概率，即是否P0.05。'ppZpqn例已知某年某区高考升学率为75%，某校在这一年有300名学生参加了高考，最后有210人被高校录取，问该校的升学率与全区的升学率是否相同？解：第一步：提出假设75.00pH：75.01pH：第二步：计算p与pˊ的差（即p―pˊ）与抽样分布的平均数（即0）的距离有多远（这个差距除以标准误，就变成了用Z表示）。00.230025.075.075.0300/210nqpppZ第三步：统计决断因为Z=2.00*1.96=Z0.05/2，p0.05，所以拒绝零假设，接受备择假设，即该校这一年高考的升学率与全区的升学率有显著的差异。由实际的数据来看，该校这一年高考的升学率低于全区。查表法当p≠q，np5，这时ppˊ的抽样分布不接近于正态分布，因此，不能对样本比率与总体比率的差异进行Z检验，而应该用查表法进行显著性检验。例如，已知某区学习障碍儿童的比率为8%，通过调查得知某班45名学生中有学习障碍的学生共3人，问该班学习障碍学生的比率与全区是否有差异？解：通过查表得知该班学习障碍学生的比率所属总体比率0.95的置信区间为2%~18%。将实际的总体比率与查表等到的置信区间进行比较，实际的总体比率在置信区间内，所以要保留零假设，拒绝备择假设，也就是说，该班学习障碍学生的比率与全区没有显著性差异。四总体比率之差的显著性检验总体比率差异的显著性检验是根据两个样本的比率来检验两个相应总体的比率是否存在显著性差异。由于样本性质不同，其检验方法也不同。如果总体比率未知，又假设这两个样本来自同一个总体（即p1ˊ=p2ˊ=pˊ），那么总体比率可以用两个样本比率的加权平均数作为估计量，即212211nnpnpnp212211nnqnqnq则得比率差的标准误的估计量为：2121nqpnqpSPP）（212122112211))((nnnnqnqnpnpn当两个样本的容量相等时，上式可以化简为：nqqppnqpSPP2))((2212121因此，总体比率差异的检验统计量为：)())((21212211221121nnnnqnqnpnpnppZ第二步：计算检验统计量的值因为4348.046/201p5652.04348.011q6875.048/332p3125.06875.012qn1=46，n2=48所以，)())((21212211221121nnnnqnqnpnpnppZ47.2)4846(4846)1526)(3320(6875.04348.0第三步：统计决断因为Z=2.47*1.96=Z0.05/2，p0.05，所以拒绝零假设，接受备择假设，即两校学生患近视的比率存在显著性差异。两种类型（一）检验2个总体比率是否相等的假设（二）检验2个总体比率之差为某一个不为0的常数的假设二、两个相关样本比率差异的显著性检验如果两个样本的被试经过配对或用同一组被试在某种实验处理的前后接受某种调查或测试，那么所获得的两组数据就属于相关样本。解：根据表中的符号，可以把两次测验成绩良好的比率之差表示为：ncbncanbapp21所以cbcbcbcbbZ2121)()(2133.122142214cbcbZ因为|Z|=1.331.96，p0.05，所以保留零假设，并得出结论：在寒假里独立完成教师编选的代数练习题，对提高代数成绩无显著效果。解：根据表中的数据得知：b=10，c=32将它们代入公式中，40.332103210cbcbZ因为|Z|=3.40**2.58，p0.01，所以拒绝零假设，得出结论：一年后学生们对该校图书馆服务的满意率有了极显著的提高。练习一观察次数戒烟前戒烟后吸烟不吸烟吸烟6515不吸烟2555