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九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性O临晋初中;李晓荣复习提问:1、什么是轴对称图形?我们学过哪些轴对称图形?如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢?.圆的对称性圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?●O你是用什么方法解决上述问题的?圆是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少个对称中心?你又是用什么方法解决这个问题的?想一想圆是轴对称图形.想一想圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.用旋转的方法即可解决这个问题.圆的对称性猜一猜请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答:它们能重合吗?如果能重合,请将它们的圆心固定在一起。O’然后将其中一个圆旋转任意一个角度,这时两个圆还重合吗?O归纳:圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的圆重合。因此,圆是中心对称圆形,对称中心为圆心。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.ABCDO∠AOB∠COD∠AOC∠BOD我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的概念判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。①②③④做一做按下面的步骤做一做1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片,在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起。2、将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合。ABOA′B′O′·OABA′B′定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,∵∠AOB=∠A′OB′,半径OA与OA′重合∴半径OB与OB′重合.∵点A与A′重合,B与B′重合∴AB︵与A'B'︵重合,AB与A′B′重合.∴AB︵=A'B'︵,AB=A'B'想一想1、在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?你是怎么想的?2、在同圆或等到圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等吗?它们所对的弧相等吗?你是怎么想的?ABOA′B′O′ABOB′A′O′(1)∵⊙O和⊙O′是等圆,且∠AOB=∠A′O′B′∴AB=A′B′,AB=A′B′.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。∵⊙O和⊙O′是等圆,且AB=A′B′,∴AB=A′B′,∠AOB=∠A′O′B′.(2)∵⊙O和⊙O′是等圆,且AB=A′B′,∴AB=A′B′,∠AOB=∠A′O′B′(3)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等,所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,它们所对的弧相等.等对等定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。ABOB′A′O′1、如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距.(1)如果AB=CD,那么___________,_____________,.(2)如果,那么___________,_____________,.(3)如果∠AOB=∠COD,那么__________,_________,.(4)如果OE=OF,那么___________,__________,.CABDEFOOE=OFAB=CD⌒⌒AB=CD⌒⌒AB=CDAB=CDAB=CD⌒⌒AB=CD⌒⌒AB=CDOE=OFOE=OF∠AOB=∠COD∠AOB=∠COD∠AOB=∠COD归纳填空:证明:∴AB=AC.又∠ACB=60°∴AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.ABCO例1、如图,在⊙O中,,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.AB=CD⌒⌒∵AB=CD⌒⌒例题BEODAC例2:如图,AB,DE是⊙O的直径,C是⊙O的一点,且AD︵=CE︵,BE与CE的大小有什么关系?为什么?解:BE=CE。理由是:∵∠AOD=∠BOE∴AD︵=BE︵又∵AD︵=CE︵∴BE︵=CE︵∴BE=CEAOBCDE解:1、如图,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE,∠COD=35°,求∠AOE的度数.⌒⌒⌒⌒⌒⌒∵BC=CD=DE∴∠BOD=∠COD=∠DOE=35°∴∠AOE=180°-3×35°=75°练习练习2:如图,在⊙O中,AB,CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,重足分别为E,F。CAFBEOD⑴如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系?为什么?∠AOB与∠COD呢?⌒⌒解:OE=OF,理由是:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵在△EOB和△FOD中,∠OEB=∠OFD,∠EOB=∠FOD,OB=OD∴△EOB≌△FOD(AAS)∴OE=OF.如图,在⊙O中,AB,CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,重足分别为E,F。CAFBEOD⑴如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?例2:(数学理解2)解:AB=CD,AB=CD,∠AOB=∠COD,理由是:∵OE⊥AB,OF⊥CD∴∠OEB=∠OFD=90°∵在Rt△BEO和Rt△DFO中,OB=OD,OE=OF∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)∴BE=DF,由垂径定理得:AB=2BE,CD=2DF,∴AB=CD,∴AB=CD,∠AOB=∠COD.如图,在⊙O中,AB,CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,重足分别为E,F。CAFBEOD⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系?AB与CD的大小有什么关系?为什么?∠AOB与∠COD呢?⌒⌒⌒⌒⌒⌒例2:(数学理解2)知识技能1.如图,A、B、C、D是⊙O上的四点,AB=DC,△ABC与△DCB全等吗?为什么?OBADC随堂练习3.已知A、B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,C是AB︵的中点。试确定四边形OACB的形状,并说明理由。ABCO2.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合条件的图案:(1)是轴对称图形但不是中心对称图形(2)是中心对称图形但不是轴对称图形(3)既是轴对称图形又是中心对称图形数学理解4.如图,AB是⊙O的直径,OD∥AC,CD︵与BD︵的大小有什么关系?为什么?OABCD5.如图,⊙O中,AB∥CD.(1)求证:∠AOC=∠BOD(2)求证:AC=BD·ODCAB21
本文标题:北师大版《圆的对称性》
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