理论力学(周衍柏)习题答案-第五章

第五章习题解答5.1解如题5.1.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：即mgy=0①变换方程y=2rcossin-=rsin2②故③代回①式即因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：rcos2-=0④又由于cos=故cos2=代回④式得5.2解如题5.2.1图三球受理想约束，球的位置可以由确定，自由度数为1，故。得由虚功原理故①因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须故②又由得：③由②③可得5.3解如题5.3.1图，在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。去掉绳代之以力T，且视为主动力后采用虚功原理，一确定便可确定ABCD的位置。因此自由度数为1。选为广义坐。由虚功原理：w①又取变分得代入①式得：化简得②设因在约束条件下任意，欲使上式成立，须有：由此得5.4解自由度，质点位置为。由①由已知得故②约束方程③联立②③可求得或又由于故或5.5解如题5.5.1图按题意仅重力作用，为保守系。因为已知，故可认为自由度为1.选广义坐标，在球面坐标系中，质点的动能：由于所以又由于故取Ox为零势，体系势能为：故力学体系的拉氏函数为：5.6解如题5.6.1图.平面运动，一个自由度.选广义坐标为，广义速度因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程①在广义力代入①得：②在极坐标系下：③故将以上各式代入②式得5.7解如题5.7.1图又由于所以①取坐标原点为零势面②拉氏函数③代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如图5.8.1图.(1)由于细管以匀角速转动，因此=可以认为质点的自由度为1.(2)取广义坐标.(3)根据极坐标系中的动能取初始水平面为零势能面，势能:拉氏函数①(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齐次方程的解.②特解为故①式的通解为③在时：④⑤联立④⑤得将代回式③可得方程的解为：5.9解如题5.9.1图.（1）按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2.（2）选广义坐标，.（3）在柱坐标系中：以面为零势能面，则：拉氏函数-①（4）因为不显含，所以为循环坐标，即常数②对另一广义坐标代入保守系拉氏方程③有得④所以此质点的运动微分方程为（为常数）所以5.10解如题5.10.1图.（1）体系自由度数为2.（2）选广义坐标（3）质点的速度劈的速度故体系动能以面为零势面，体系势能：其中为劈势能.拉氏函数①（4）代入拉格郎日方程得：②代入拉格郎日方程得③联立②，③得5.11解如题5.11.1图（1）本系统内虽有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动，自由度（2）选取广义坐标（3）根据刚体力学其中绕质心转动惯量选为零势面，体系势能：其中C为常数.拉氏函数(4)代入保守系拉氏方程得：对于物体，有5.12解如题5.12.1图.（1）棒作平面运动，一个约束，故自由度.（2）选广义坐标（3）力学体系的动能根据运动合成又故设为绕质心的回转半径，代入①得动能②（4）由③（其中）则④因为、在约束条件下任意且独立，要使上式成立，必须：⑤（5）代入一般形式的拉氏方程得：⑥又代入一般形式的拉氏方程得：⑦⑥、⑦两式为运动微分方程（6）若摆动角很小，则，代入式得：，代入⑥⑦式得：⑧又故代入⑧式得：（因为角很小，故可略去项）5.13解如题5.13.1图(1)由于曲柄长度固定，自由度.(2)选广义坐标，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：①(3)系统动能②（4）由定义式③（5）代入①得：得5.14.解如题5.14.1图.（1）因体系作平面平行运动，一个约束方程：(2)体系自由度，选广义坐标.虽有摩擦，但不做功，为保守体系（3）体系动能：轮平动动能轮质心转动动能轮质心动能轮绕质心转动动能.①以地面为零势面，体系势能则保守系的拉氏函数②(1)因为不显含，得知为循环坐标.故=常数③开始时：则代入得又时，所以5.15解如题5.15.1图（1）本系统作平面平行运动，干限制在球壳内运动，自由度；选广义坐标，体系摩擦力不做功，为保守力系，故可用保守系拉氏方程证明①（2）体系动能=球壳质心动能+球壳转动动能+杆质心动能+杆绕中心转动动能②其中代入②得以地面为零势面，则势能：（其中为常数）(3)因为是循环坐标，故常熟③而代入①式得④联立③、④可得（先由③式两边求导，再与④式联立）⑤⑤试乘并积分得：又由于当5.16解如题图5.16.1.（1）由已知条件可得系统自由度.（2）取广义坐标.（3）根据刚体力学，体系动能：①又将以上各式代入①式得：设原点为零势能点，所以体系势能体系的拉氏函数②(1)因为体系只有重力势能做工，因而为保守系，故可采用③代入③式得即（5）解方程得5.17解如题5.17.1图（1）由题设知系统动能①取轴为势能零点，系统势能拉氏函数②（2）体系只有重力做功，为保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又代入上式得即③同理又代入上式得④令代入③④式得：欲使有非零解，则须有解得周期5.18解如题5.18.1图（1）系统自由度（2）取广义坐标广义速度（3）因为是微震动，体系动能：以为势能零点，体系势能拉氏函数（4）即①同理②同理③设代入①②③式得欲使有非零解，必须解之又故可得周期5.19解如题5.19.1图（1）体系自由度（2）取广义坐标广义速度（3）体系动能体系势能体系的拉氏函数（4）体系中只有弹力做功，体系为保守系，可用①将以上各式代入①式得：②先求齐次方程③设代入③式得要使有非零，必须即又故通解为：其中又存在特解有②③式可得式中及为积分常数。5.20解：以速度我广义速度，根据定义①根据公式（5.5.10）又有①得5.21解取在转动坐标系的速度为广义速度，则在固定坐标系中的速度：，自由质点的动能，设质点势能为，则质点的拉氏函数根据定义：在转动坐标系中：上式中为质点的位矢，为质点相对于固定坐标系的速度。5.22解：取在广义坐标根据教材（3.9.21）和（3.9.19）式得动能：势能：根据定义式故因为所以为第一积分.又故得为第二个第一积分.同理即得为第三个第一积分.5.23解如题5.23.1图,由5.6题解得小球的动能①根据定义②得③根据哈密顿函数的定义代入③式后可求得:④由正则方程得:⑤⑥代入⑤得整理得24.5.24如题5.24.1图,⑴小球的位置可由确定,故自由度⑵选广义坐标,广义速度.⑶小球动能又由①式得设小球势能为V,取固定圆球中心O为零势点,则小球拉氏函数=①根据定义有根据正则方程④⑤对式两边求时间导得：故小球球心切向加速度5.25解根据第二章§2.3的公式有：①根据泊松括号的定义：②所以同理可知：,由②得：同理可得：,5.26解由题5.25可知的表达式因为故同理可求得：即5.27证取广义坐标因为又因为所以5.28解如题5.28.1图(1)小环的位置可以由角唯一确定，因此体系的自由度，取广义坐标，广义速度。小球的动能：以为势能零点，则小环势能所以拉氏函数（2）由哈密顿原理故所以又由于所以因为是任意的，所以有被积式为0，即化简得5.29解参考5.23题，设，体系的拉氏函数①根据哈密顿原理故②因为所以又因为③因为是任意的，所以有5.30解如题5.30.1图，复摆位置可由角度唯一确定，自由度，取广义坐标，设为复摆重心与悬点之间的距离。复摆的动能：取为势能零点，则势能：复摆的拉氏量：①由哈密顿原：故又因为②因为的任意性所以有：根据已知很小，③可求得：其中为初相位。周期5.31解如题5.31.1图，参考题5.9，体系拉氏函数①根据哈密顿原理：故②因为代入②式得：所以③又因为，且和的任意性所以所以运动微分方程为：常数5.32证因为母函数不是的显函数，为正则变换。5.33证由为母函数，故为正则变换。又且当，变为时5.34证：由①又故②由于代入②式得得所以存在母函书使：因此，这种变换是正则变换.5.35解:由于故①②由②得又有又③④又故⑤当时,由③式得:即当时,