岩石物理学(地大)10第四章

岩石物理学与地震学系统（09相似性问题与岩石弹性）顾问：陈颙院士[e-mail]於文辉教授[e-mail]相似性原理实验地球物理学，比一般的实验科学难度更大。因为这里要进行实验或模拟的对象是地球，它不仅尺度大、时间长，而且很多变化规律还没有掌握。实验方法，不同与野外直接进行观测的地震方法、电磁方法、重力方法和地热方法，它不仅要遵从物理定律，而且要遵守实验工作的基本理论-相似原理。相似性原理已广泛用于物理研究和许多工程领域，用来研究复杂的巨大客体与简单的有限的样品之间存在的矛盾。相似理论是指导实验和处理实验数据的有效方法。尤其在地球物理的实验研究中，涉及弹性力学、流体力学、破裂力学、电学、磁学、热学等问题，无论从时间的长短和空间的大小，都存在着地球与样品之间的巨大差异。地球现象如何抽象或提炼成实验室内的某种过程，实验结果又如何推广用来解释地球物理问题，都需要借助于相似形原理。相似性概念两个物体的相似性概念，最初产生于几何学中，以后又推广到物理学和其他学科之中。具体分为：1、几何相似或空间相似2、物理相似3、时间相似4、广义相似1、几何相似两个几何上相似的图形或物体，其对应部分(如边和角)的比值，必等于同一个常数。这就是几何相似。.3,2,1,/'==′′iCaaaii式中Ca称为边的相似常数。相似常数的意义在于：若以三角形为标准，它的任意边长乘以相似常数，则得到与之相似的三角形的对应边长。几何相似在物理问题中体现在运动路径的相似和运动体形状的的相似。UCUUUUUU==′′′=′′′=′′′L332211///2、物理相似在进行着物理过程的两个系统中，若两个系统的几何相似（包括形状相似、路径相似），且各个对应点或对应段的各个物理量也互成常数比例，则这种现象成为物理相似。若以和表示两个相似系统在各对应点上的物理量，则应有′′′321UUU、、'321UUU、、这个物理量U，可以是力、速度、温度、压力、磁场强度、导磁率、体变模量、剪变模量…。根据现象特点，又可分为力学相似、热力学相似、电相似、磁相似、破裂相似、震源相似等。力学相似，又可分为运动学相似和动力学相似。3、时间相似因为任何物理过程总是随时间而发展的。因此，两个现象相似也应包括时间上的相似。所谓时间相似，就是指在两个几何相似的系统中，其对应点或对应部分沿着相似的路径运动，而且在成一定比例关系的时间间隔内，所通过的几何路径相同。这里的时间间隔比例，也等于同一数值。应指出，这里所说的相似“路径”，不应狭义地理解为几何路径，而且应该广义地理解为某一物理量随时间的变化过程（如加载过程）。4、广义相似任何一个物理过程，总是在一定时间和空间里进行的，因此时间和空间的相似性是作为实验室模仿自然界的必要条件。模仿作为一个物理过程进行，还与初始条件、边界条件有关。例如，为模拟地球的热历史，必须保证地球形成时的温度分布与实验开始时的温度分布相似，以及地心温度和样品中心温度的相似。我们把包括初始条件和边界条件在内的时间、空间和物理量的相似。总称为广义相似。在研究地球物理问题时，应用相似理论必须十分小心。因为地球内部具有高温（103-104℃）、高压（1011-1012Pa）的特点，实验时尽管创造了一定范围内的高温高压条件，但毕竟尚未达到实际地球温压条件。此外，样品与地球介质的物质成分也很难满足相似性。条件不同、物质不同，其物理规律有可能不同。这样就可能从根本上动摇了相似原理的应用基础，以及相似系统所遵从的相同物理规律。对这一点，必须有足够的思想准备。任何容器的体积V和特征长度L有如下关系3/LVKV=3LV∝KV称为相似系数。对于相似的容器，KV必然相等。但KV的大小，随容器的形状而定。相似系数在相似理论中是一个非常重要的量。下面通过几个物理现象，对相似系数加以分析，并从中概括出确定相似系数的一般步骤。几何体的相似系数：相似系数的推导334RVπ=π34=VK24RSπ=π4=SK容器为球形时，其特征长度为R（球半径）相似系数是个无量纲的量。通过上面例子的分析。可以归纳一下获得相似系数的步骤：（1）分析相似现象，抓住描写现象的物理规律，并写出微分方程式；（2）分析相似条件，建立能够反映这些条件的相似关系式；（3）将相似关系式代入微分方程式，进行相似变换，可以得出相似指标式；（4）将相似关系式再代入相似指标式，从而获得相似系数。VVm=mmmllff==λλγ=mVV(a)(b)mmmllffγλλγ11==实际模型地震物理模拟相似比1、运动学相似原理几何相似比(a)(b)单相介质mcλλ=mcμμ=mcρρ=双相介质mcAA=mcRR=mcNN=mcQQ=mcbb=mcρρ=2、动力学相似原理完全弹性介质(a)(b)实际介质模型介质freAA00α−=mmmrfmmeAA00α−=00mmAAAA=mmmrffr00αα=VVm=mmrffr=00αα=mγ=mVVmmVV00αα=00γαα=m(1)(2)非完全弹性介质相似原理的灵活运用从严格的相似性原理来说，要保证实验与实际完全相似，则要求它们的相似系（准）数处处相等。但满足这些要求，有时是困难的，甚至是相互矛盾的。为此，对于一个实际过程而言，常常是一、二个主要因素在起作用，在进行具体研究时，倘能保证包含这些因素的相似系数相等，即可基本达到研究要求。地球物理实际研究中，运动学比例因子是双因素控制，而在动力学中，则是三因素或多因素控制。岩石的弹性我们已经建立起岩石物理方程，也就是应力-应变关系。从应力-应变曲线可以看出，岩石在变形的AB段,受力(应力)和变形(应变)之间呈现线性关系,表现出了线弹性的变形性质。现在，我们集中介绍岩石的弹性和弹性参数的概念,同时着重指出,岩石的弹性性质一方面是受矿物的弹性性质控制，但更重要的是由岩石内部的孔隙和孔隙流体所决定。弹性参数——一般概念AB段——线弹性阶段,AB的斜率(即岩石有效杨氏模量)由岩石固态物质的弹性常数和包含的孔隙情况所确定。岩石应力—应变间若存在线性关系,则表示岩石为线弹性变形。对于各向同性的线弹性体，其应力一应变关系可表示为)3,2,1,(2=+=jiijijijμελθδσ式中,和分别是应力张量和应变张量的分量,是拉梅常数,是剪切模量,是克罗内克尔记号(当时,;当时,),是体积应变,即ijσijελμijδji≠0=ijδji=1=ijδθ321εεεθ++=—纵、横波速度——泊松比——杨氏模量——体积模量—spVVEK,ν由本构关系知，均匀的、各向同性的、完全弹性体仅有二个独立弹性常数（，）。实际工作中，人们还使用这二个弹性常数的导出量描述线弹体：λμ1、详细讲解并推导P79的例一与例二。2、详细推导剪切模量、拉梅常数、体积模量、杨氏模量、泊松比的关系，即表4.1。弹性常数间的关系望同学们课后，自己再推导一次，加深印象。掌握这些公式的基本原理与具体推导过程，将一生受用。关于杨氏模量等弹性常数间关系的讨论1、体积模量假定弹性体受到附加流体静压力的作用，由此产生的体积应变为。定义材料的体积模量和压缩系数，试用表示。dPθdθddPK=dPdKθβ==1μλ,K解：均匀的、各向同性的、完全弹性体的本构关系为)3,2,1,(2=+=jiijijijμελθδσijijijijijijijdddPPεμθδλδμελθδδσ22+=⇒+==令由爱因斯坦求和法则，得：，θμθλdddP233+=μλθ32+==ddPK2、杨氏模量在单轴压缩下，主应力分别是，则；0,0321==≠σσσ02022332211=+==+=+=μελθσμελθσμελθσ将三个主应力相加，得：。将代入上式，得。()()μλσθθμλσ232311+=⇒+=112μελθσ+=μλμεθ+=1由杨氏模量定义：理想材料在小形变时应力与相应的应变之比。μεθλεσ2111+==E()()μλμλμμλμλμμλλμμμλμλ++=++++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2322E3、泊松比泊松比定义：理想材料垂直于轴向上的应变与轴向应变的比值之负值。2ε1ε12εεν−=对除以，得，从而0222=+=μελθσ1ε02121=+εεμεθλ()μλλμλμμλεθμλνεεμεθλ+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==⇒=[phone]、讨论(1),μλ=()25.042==+=λλμλλν(2),0=μ()5.022==+=λλμλλν(3)0,0==νλ(5)1,32−=−=νμλ(6)12=−=νμλ时，(4)由于，所以，①；②()μννλλμλνμλλν212,2,2−==++=——00λν时，021,021−λνν时，—由岩石中的孔隙：裂纹与孔洞砂岩结构示意图A未固结均匀砂层；B未固结不均匀砂层；C固结砂岩引自“TheDynamicEarth”42-45风化辉长岩34-57风化花岗岩0-10页岩3-35玄武岩0-40灰岩、白云岩0-5致密结晶岩21-41粉砂岩0-10破裂结晶岩5-30砂岩孔隙度(%)结晶岩孔隙度(%)沉积岩部分岩石的孔隙度（据Domenico和Schwartz,1998)VVφφ=绝大多数岩石是有孔隙的。为了描述岩石中孔隙的多少,将体积为V的岩石中孔隙体积所占的百分比,叫作岩石的孔隙度,用来表示,即φVφ孔隙空间形态除孔隙的大小以外，孔隙形状也是影响岩石物理性质的重要因素。岩石中的孔隙按其形状可以分成两类：孔隙度高的岩石,孔隙往往是等维球形,或近于球形;我们称这类孔隙为孔洞(pore)；孔隙的最小直径与最大直径之比，称为纵横比(aspectration)α,孔洞的纵横比α约为1左右(图a)。孔隙度低的岩石,孔隙往往是狭长的裂缝，我们称之为裂纹(crack)；裂纹的纵横比远远小于1(图b)。VVPP=φVVCC=φ基于以上两类孔隙,可以定义孔洞孔隙度和裂纹孔隙度PφCφ式中，和分别代表体积为V的岩石中孔洞和裂纹所占的体积，显然，岩石的孔隙度应为孔洞孔隙度和裂纹孔隙度之和：PVCVCφPφCPφφφ+=特别指出：孔隙的存在实验材料的结构特点。正是由于孔隙的存在，岩石力学研究中才出现诸如孔隙压力、有效应力等等不同于一般材料（如金属）的许多特有的概念。高压应力状态和孔隙的存在，是岩石力学有别于一般材料力学的原因。因此，孔隙是岩石力学中一个十分重要的概念。岩石中的孔隙所占的体积不一定很大，但对岩石性质影响相当大。例如，花岗岩中裂纹仅占岩石总体积的1%左右，但当存在裂纹和裂纹被压缩时，岩石的体积模量相差5倍。岩石的孔隙是一个相对提法。比起分子结构而言(分子之间间距约为10-10米数量级)，孔隙是个宏观概念。目前，显微镜(光学显微镜或扫描电子显微镜)能看到0.1微米和毫米之间岩石内部孔隙，因此，岩石孔隙又属于微观概念。我们对岩石内部孔隙已有一定了解，能够初步地勾画出孔隙的具体结构。下面的两种观测事实表明,岩石中的孔隙是(至少是部分)相连的,从而在岩石内部形成一个三维的孔隙网。(1)水饱和岩石的电阻率,即使在1GPa的高围压下,仍比干燥岩石低几个数量级。(2)在400MPa的压力下,岩石渗透率比固态物质的扩散迁移率要高几个数量级(Nur和Waldcr,1990)。由岩石的结构特点,可以看出岩石是由固体的岩石骨架和孔隙流体组成的两相体。为了描述两相体的力学特性，常常引进等效体的概念，就是设想一个均匀的连续介质，它的力学性质与两相的岩石一致，这个介质的力学参数称为岩石的有效参数。显然，岩石的有效弹性参数取决于孔隙的大小、形状以及岩石基质和孔隙流体的弹性参数。岩石、矿物和孔隙流体的弹性参数由于岩石主要是由矿物组成，要更好地了解岩石弹性与造岩矿物与孔隙流体的关系及宏观物理性质，就必须了解矿物的物理性质。假设多晶体矿物的方向是随机的。0.2857.069.0钠长石0.26111.4154.4透辉石0.2183.1141.3易剥石0.2542.956.8白云母0.2750.533.8黑云母0.3252.962.8重晶石0.3174.468.8方解石0.1498