2020届山西省长治市高三下学期(3月在线)综合测试数学(理)试题(解析版)

第1页共25页2020届山西省长治市高三下学期（3月在线）综合测试数学（理）试题一、单选题1．i为虚数单位，复数z1ii的共轭复数z在复平面内对应的点到点（12，12）的距离为（）A．12B．1C．22D．2【答案】D【解析】利用复数的运算法则化简复数z,根据共轭复数的定义表示出z,由复数的几何意义求出z在复平面内对应的点坐标,利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题意知,复数1111111222iiiiziiii,由共轭复数的定义知,1122zi,由复数的几何意义知,1122zi在复平面内对应的点坐标为11,22,由两点间距离公式得，点11,22到点（12，12）的距离为22111122222d,故选:D【点睛】本题考查复数的运算法则和共轭复数定义及复数的几何意义;属于基础题.2．已知函数f（x）＝log2（x2﹣2x）的定义域为A，B＝{x|﹣2＜x≤2），则A∪B＝（）A．RB．{x|x≤2}C．{x|x≥﹣2}D．{x|﹣2≤x≤2}【答案】A【解析】利用对数函数的真数大于零求出集合A,再由集合的并运算求解即可.【详解】由题意知,220xx,解得2x或0x,第2页共25页所以集合20Axxx或,因为集合22Bxx,由集合的并运算可得,ABR.故选:A【点睛】本题考查对数函数定义域的求解和集合的并运算;考查运算求解能力;属于基础题、常考题型.3．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cos（2α+π）＝（）A．725B．725C．35D．45【答案】B【解析】由任意角三角函数定义求出cos,再利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可.【详解】由题意知,22435r，由任意角三角函数的定义知,4cos5xr,由诱导公式和二倍角的余弦公式可得,2cos2cos22cos1,即247cos212525,故选:B【点睛】本题考查任意角三角函数的定义、诱导公式和二倍角的余弦公式;熟练掌握诱导公式和二倍角的余弦公式是求解本题的关键;属于基础题.4．随着经济的发展，城市空气质量也越来越引起了人民的关注，如图是我国某大城市2018年1月至8月份的空气质量检测结果，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气质量合格，下面说法错误的是（）第3页共25页A．6月的空气质量最差B．8月是空气质量最好的一个月C．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了D．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个【答案】A【解析】由统计表分析题目中的命题,再判断它们的真假性即可.【详解】对于选项A：5月份空气质量合格的只有13天,6月份空气质量合格的有25天,故空气质量最差的为5月份,故选项A错误;对于选项B：8月份空气质量合格的达到30天,是空气质量最好的一个月,故选项B正确;对于选项C：第一季度合格天数的比重为2226190.8462312931,第二季度合格天数的比重为1913250.6263303130,所以第二季度与第一季度相比,空气达标的比重下降了,故选项C正确；对于选项D：1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有：1月份、2月份、6月份、7月份、8月份,共有5个,故选项D正确；故选:A【点睛】本题考查条形图的应用;考查学生知识迁移能力和分析问题、解决问题的能力;属于基础题.5．2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人参加3个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排方案有（）A．24B．36C．48D．72【答案】B【解析】先将甲、乙、丙、丁四人分成3组,再将分成的三组分别参加三个项目即可.第4页共25页【详解】先将甲、乙、丙、丁四人分成3组,其中必有一组为2人,所以有24C种选择,再将分成的三组分别参加三个项目,此时有33A种选择,由分步乘法原理可得,不同的安排方案有2343433213621CA(种),故选:B【点睛】本题考查排列组合思想与分步乘法原理;分清楚是有序还是无序，分类还是分步是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6．如图是某几何体的三视图，则它的表面积为（）A．1729B．172211C．1728D．2172211【答案】A【解析】根据三视图还原几何体为如图所示的四棱锥,由侧棱PA底面ABCD,利用线面垂直的性质,结合题中数据求出每条侧棱的长度,利用三角形和梯形的面积公式求解即可.【详解】由三视图知,该几何体为如图所示的四棱锥,第5页共25页侧棱PA底面ABCD,由勾股定理可得,22,22,13,3CDPBPDPC，在PCD中,由余弦定理的推论知,222222322132cos262322PCCDPDPCDPCCD,由同角三角函数的基本关系知,22234sin1cos166PCDPCD，所以PCD的面积为1134sin32217226PCDSPCCDPCD,因为侧棱PA底面ABCD,所以BCPA,因为BCBA,所以BC⊥平面PAB,由线面垂直的性质知,BCPB,即PBC为直角三角形,所以11221222PBCSPBBC,因为侧棱PA底面ABCD，所以,PAABPAAD,所以1122222PABSPAAB,1123322PADSPAAD,因为底面是以,BCAD为底的直角梯形,所以132422ABCDBCADSAB梯形,所以所求几何体的表面积为PADPABPBCPCDABCDSSSSSS梯形,即3221742179S,故选:A第6页共25页【点睛】本题考查三视图还原几何体和棱锥表面积的求解;考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形．如图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．若向正方形内随机的抛10000颗小米粒（大小忽略不计），则落在阴影部分的小米粒大约为（）A．3750B．2500C．1875D．1250【答案】D【解析】根据与面积有关的几何概型的概率公式求出对应区域的面积即可求解.【详解】设正方形的边长为2,则阴影部分是由2个小等腰直角三角形构成的,由图知,图中大等腰直角三角形的直角边为2,设正方形的边长为a,则小等腰直角三角形的直角边为a,即22a,解得22a,所以小等腰直角三角形的面积为12212224S,所以阴影部分的面积为11=2242SS阴影,因为正方形的面积=22=4S正,由与面积有关的几何概型概率公式可得,向正方形内撒一把豆子,落在阴影区域内的概率为11248SPS阴影正，设向正方形内随机的抛10000颗小米粒（大小忽略不计），第7页共25页则落在阴影部分的小米粒大约为x颗,所以1810000xP,解得1250x,故选:D【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率公式;考查运算求解能力;熟练掌握几何概型的概率公式及几何概型的适用条件是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8．已知数列na满足1133,23nnnaaaa，则2019a＝（）A．32020B．20203C．20193D．20213【答案】A【解析】把递推式an+133nnaa两边同时取倒数,得到数列1na为等差数列,利用等差数列通项公式求出20191a,再取倒数即可.【详解】因为an+133nnaa,两边同时取倒数可得,11113nnaa，即11113nnaa,所以数列1na是以23为首项,13为公差的等差数列,所以12111333nnna,所以2019120203a,即201932020a.故选:A【点睛】本题考查利用数列的递推公式求通项公式和等差数列的定义;对递推公式进行灵活的变形是求解本题的关键;属于中档题.9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝8，则球O的表面积为（）第8页共25页A．25πB．6253πC．100πD．25003π【答案】C【解析】根据已知条件,利用正余弦定理求出底面ABC外接圆的半径r,设此圆的圆心为'O,直三棱柱111ABCABC外接球的球心为O,利用球的截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面,在'RtOOB中,求出球的半径R,代入球的表面积公式求解即可.【详解】在底面ABC中,由余弦定理可得,2222cosCBABACACABBAC，即222133233272CB,所以33CB,在底面ABC中,由正弦定理可得,2sinBCrBAC,即33232r,解得3r,设底面圆的圆心为'O,直三棱柱111ABCABC外接球的球心为O,球的半径为R,由球的截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面知,'OO底面ABC,即''OOOB，OBR,在'RtOOB中,由勾股定理可得,2'2'2OBOOOB，即22212AARr所以2224325R,由球的表面积公式可得,2=4425100SR球表，故选:C【点睛】本题考查空间几何体的表面积、体积和多面体的外接球及球的截面圆问题;考查空间想象能力和运算求解能力;球的截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面这一结论的应用是求解本题的关键;属于中档题.10．设F为抛物线C：x2＝3y的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交于C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）第9页共25页A．94B．334C．938D．6332【答案】A【解析】由抛物线的定义求出焦点F,代入点斜式方程求出直线ABl的方程,与抛物线方程联立得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理得到A，B两点横坐标的和与积,把△OAB的面积转化为OAF和OBF的面积之和求解即可.【详解】由抛物线2:3Cxy知,焦点F为30,4,所以直线ABl的方程为334yx,即334yx，联立方程23343yxxy，消去y可得,293304xx,设点1122,,,AxyBxy,则由韦达定理可得,1212933,4xxxx,所以OABOAFOBFSSS121324xx,21212348xxxx2393348494.故选:A【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系;考查转化与化归的思想;根据抛物线的定义,把△OAB的面积转化为OAF和OBF的面积之和是求解本题的关键;属于中档题.11．已知31xfxeaax，若0fxxR恒成立，则满足条件的a的个数有（）A．1B．3C．2D．4【答案】B第10页共25页【解析】根据不等式0fxxR恒成立,分0a,0a,0a三种情况讨论是否符合题意,其中当0a时,利用导数研究函数的解的个数,设lnaaa,则'1lnaa,由此可得函数lnaaa在10,e上单调递减,在1,e上单调递增,从而求出函数lnaaa的最小值为1113ee,即1ln3aa有两解,由此即可求解.【详解】1当0a时,0xfxe对xR恒成立,符合题意;2当0a时,0xea对xR恒成立,01,3xa