第十二章-期权定价的数值方法

FinancialEngineering授课人：王正文讲师武汉大学经济与管理学院邮箱：[e-mail]第十二章期权定价的数值方法在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（NumericalProcedures）为期权定价，主要包括二叉树方法（BinomialTrees）、蒙特卡罗模拟（MonteCarloSimulation）和有限差分法（不讲）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述两种数值方法来为期权定价。第一节二叉树期权定价模型pSuS1-pSd把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：1、从开始的上升到原先的倍，即到达tt2、下降到原先的倍，即相应地，期权价值也会有所不同，和。SuSudSdufdf1,1ud二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动相同期限下步长越小精确度越高3303333,321212313,23033333,0|||jijijjijijjijijSuSudSudSudSuSuuSudSudSudSdSudSudSud风险中性定价法在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：SdppSuSetr)1(风险中性定价法假设证券价格遵循几何布朗运动，则：22222222])1([)1(dppuSdSpupStS2222)1()1(dppudpput再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）1ud风险中性定价法由以上三式可得，当很小时：tdudeptrteuted倒推定价法得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值；Ttr倒推定价法如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。t假设把该期权有效期划分成N个长度为的小区间，同时用表示结点处的证券价格可得：，其中若期权不被提前执行，后，则：所以实际上表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值tjijdSu),(jimax(,0)jNjNjfXSud，0,1,,jNt1,11,[(1)]rtijijijfepfpf)0,0(ijNifijti1,11,max{,[(1)]}jijrtijijijfXSudepfpf当标的资产支付连续收益率为的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，因此：qrqdppuetqr)1()(dudeptqr)(teuted第二节构造树图的其他方法和思路在确定参数、和时，不再假设，而令，可得：该方法优点在于无论和如何变化，概率总是不变的udp1ud0.5p222rqttue222rqttdet每一个时间间隔内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、保持不变，仍为；3、下降到原先的倍，即tSuSuSdSdSSSdSuSu2Su3Su2SuSuSSSdSdSd3Sd2Sd2基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设：,代表期权B的真实价值，表示关于期权A的较优估计值，和表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权A的更优估计值为：ˆBBffˆAAffˆBfˆAfˆBBffˆAAffBfAf在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长进一步细分，如分为，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程t4t第三节MonteCarlo模拟MonteCarlo:BasedOnProbability&Chance基本思路：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回(payoff)的期望值的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。随机路径：在风险中性世界中，为了模拟路径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为dSrqSdtSdz2lnln2SttStrqtt2exp2SttStrqtt（是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）随机样本的产生和模拟运算次数的确定：1.的产生是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中是0到1的相互独立的随机数。1216iiRiR112i2.模拟运算次数的确定如果对估计值要求95％的置信度，则期权价值应满足（是进行运算的次数，为均值，是标准差）1.961.96fMMM