B样条总结

NURBS曲线——描述高次曲线的一种参数数学方法姓名：***研究方向：工业机器人导师：***教授描述曲线的各种方法一、幂基曲线二、Bezier曲线三、B样条曲线四、非均匀有理B样条曲线（NURBS曲线）NURBS曲线的基本几何算法（插入、细化、去除、升阶、降阶）幂基曲线n次曲线的幂基表示形式是：C(u)=系数ai传递很少的关于曲线形状的直观几何印象Horner（霍纳）算法：递推，多项式求和的算法，计算幂基曲线上的点(0=u=1)Bezier曲线求Bezier曲线上的点：法一：所有基函数(AllBernstein)和对应点相乘并求和，算法PointOnBezierCurve。Bernstein的递推定义：法二：deCasteljau(德·卡斯戴尧)算法，即线性插值的方法三次Bezier曲线线性插值为了描述或拟合一些复杂的形状，需要采用高次曲线；Bezier曲线不具有局部性，所以我们需要采用分段多项式表示的曲线来解决fi(u)为基函数B样条曲线B样条基函数：（递推定义）U=[u0,u1,u2,……um]是一个单调不减的实数序列，ui为节点，U称为节点矢量，Ni,p(u)表示第i个p次（p+1）阶B样条基函数计算B样条基函数计算p次所有非零基函数的算法BasisFuns计算单个基函数的算法OneBasisFunB样条基函数导数B样条的基函数的求导公式反复对上式两端求导，得到一般的求导公式计算单个基函数k阶导数的过程DersOneBasisFun计算并存储对应于k=0的三角形表加载三角形表中包含p-k次基函数那一列，然后按照上述过程递推计算计算所有p次基函数的值及它们各阶导数的算法DersBasisFuns2计算并存储k=0的如下矩阵计算基函数Ni,p的各阶导数时，加载对应的直角三角形边上和内部对应的p-k次那一列，然后按照前述过程计算、、B样条曲线定义上的B样条基函数计算B样条曲线上的对应点（算法CurvePoint）1.找到u所在的节点区间（算法FindSpan）2.计算此区间上所有非零基函数的值（算法BasisFuns）3.将非零基函数的值与相应的控制点相乘再求和。B样条曲线的导矢公式两个算法CurveDerivsAlg1和CurveDerivsAlg2CurveDerivsAlg1：类似计算B样条一点的算法用到算法DersBasisFuns2CurveDerivsAlg2：先通过算法CurveDerivCpts计算导曲线的控制点，再和AllBasisFun结合计算计算导曲线控制点由和得到其中递推过程：NURBS曲线定义给定一组控制点Pi和权因子Wi，构造带权控制点，四维空间定义的B样条曲线用透视变换可得三维空间的NURBS曲线算法CurvePointPw算法RatCurveDerivs比较Bezier曲线局部修改性差特征多边形顶点个数决定曲线的阶次NURBS曲线局部修改性强曲线的阶次由控制参量p决定基本几何算法插入将插入U，则形成新的节点矢量节点插入实质上只是向量空间基底的改变，而曲线在几何和参数化方面均不改变。通过节点插入，能够计算曲线上的点及导矢，进行曲线细分，增加控制点数使形状控制更灵活。算法CurveKnotIns通过节点插入计算NURBS上一个点：CurvePntByCornerCut，计算导曲线某一点及其各阶导矢的算法：deBoorBspline节点细化将NURBS曲线分解为Bezier曲线段节点去除（节点消去，knotremoval）对三重曲线的节点消去三次升阶1.利用算法DecomposeCurve中的方法提取曲线的第i个Bezier段2.升阶第i个曲线段；3.消去可以消去的连接第i-1段和第i段的节点降价DegreeElevateCurve从B样条曲线提取出第i个Bezier段；对第i个Bezier段降价；消去连接第i-1段和第i段不必要的节点。总结Bezier曲线不具有局部控制性插入、细化、升阶算法都是在NURBS曲线不变的前提下，通过改变控制点，使得形状控制更加灵活；去除和降价算法有误差，曲线有偏差。不足：不知如何应用B样条曲线。谢谢