第四讲-平抛运动、圆周运动的临界问题

能力提升课第四讲平抛运动、圆周运动的临界问题热点一平抛运动中的临界问题(师生共研)1．有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．[典例1](2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()A.L12g6h＜v＜L1g6hB.L14gh＜v＜4L21＋L22g6hC.L12g6h＜v＜124L21＋L22g6hD.L14gh＜v＜124L21＋L22g6h解析：当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小．由平抛运动规律得L12＝v1t,2h＝12gt2，联立解得v1＝L14gh.当发射机正对右侧台面的某个角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大．由平抛运动规律得L21＋L222＝v2t′，3h＝12gt′2，联立解得v2＝124L21＋L22g6h.即速度v的最大取值范围为L14gh＜v＜124L21＋L22g6h，D正确，选项A、B、C错误．答案：D[反思总结]处理平抛运动临界问题应抓住两点1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界状态的条件．2．要用分解速度或者分解位移的方法分析平抛运动的临界问题．如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，墙的厚度d＝0.4m．某人在离墙壁距离L＝1.4m，距窗子上沿高h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10m/s2，则v的取值范围是()A．v＞7m/sB．v＞2.3m/sC．3m/s＜v＜7m/sD．2.3m/s＜v＜3m/s解析：小物体穿过窗口并落在地上，需满足的条件为能穿过窗口的右上沿和左下沿，结合公式h＝12gt2，x＝vt，沿右上沿时，x1＝L＝1.4m，h1＝h＝0.2m时，代入数据得v1＝7m/s，沿左下沿时，x2＝L＋d＝1.8m，h2＝H＋h＝1.8m时，代入数据得v2＝3m/s，则3m/s＜v＜7m/s，故选C.答案：C热点二水平面内圆周运动的临界问题(自主学习)水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题．1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有fm＝mv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．2．与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．2－1.[摩擦力有关的临界问题]如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法中正确的是()A．B对A的摩擦力一定为3μmgB．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力C．转台的角速度一定满足ω≤2μg3rD．转台的角速度一定满足ω≤μg3r答案：C2－2.[绳子张力的临界问题](2019·山东滕州一中检测)质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb(且la≠lb)，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则()A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大到mg＋mω2laC．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动D．绳b未被烧断时，绳a的拉力等于mg，绳b的拉力为mω2lb解析：绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向C点，对小球受力分析，受重力G，a绳子的拉力F1，b绳子的拉力F2，根据牛顿第二定律有：F1＝mg；F2＝mω2lb；小球的线速度为：v＝ωlb；绳子断开后，杆停止转动，由于惯性，小球将绕A点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平面ABC的竖直平面内绕A点做完整的圆周运动，故A、C错误，D正确；在最低点时：Fa－mg＝mωlb2la；解得：Fa＝mg＋mωlb2la，则a绳中张力突然增大到mg＋mωlb2la，B错误．答案：D2－3.[接触与脱离的临界问题]用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是图乙中的()解析：设绳长为L，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω＝0时，小球静止，受重力mg、支持力FN和绳的拉力FT而平衡，FT＝mgcosθ≠0，A错误；ω增大时，FT增大，FN减小，当FN＝0时，角速度为ω0，当ω＜ω0时，由牛顿第二定律得FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，FTcosθ＋FNsinθ＝mg，解得FT＝mω2Lsin2θ＋mgcosθ，当ω＞ω0时，小球离开锥面，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得FTsinβ＝mω2Lsinβ，所以FT＝mLω2，可知FT－ω2图线的斜率变大，所以B正确，C、D错误．答案：B热点三竖直面内圆周运动的临界问题(师生共研)1．轻绳和轻杆模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．2．两类模型对比轻绳模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力可能向下，也可能等于零弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图力学方程mg＋FT＝mv2rmg±FN＝mv2r临界特征FT＝0，即mg＝mv2r，得v＝grv＝0，即F向＝0，此时FN＝mgv＝gr的意义物体能否过最高点的临界点FN表现为拉力还是支持力的临界点[典例2]一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B．小球过最高点的最小速度是gRC．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝gR时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v＜gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝mv2R，随v增大，F减小，若v＞gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝mv2R，随v增大，F增大，故C、D均错误．答案：A[反思总结]3－1.[过山车问题]乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是()A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力C．人在最低点时对座位的压力等于mgD．人在最低点时对座位的压力大于mg解析：人过最高点时，FN＋mg＝mv2R，当v≥gR时，不用保险带，人也不会掉下来，当v＝2gR时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确．答案：D3－2.[绳模型问题]如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力FT、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式FT＝a＋bcosθ，式中a、b为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为()A.b2mB．2bmC.3bmD．b3m答案：D3－3.[杆模型问题]如图所示，长为3L的轻杆可绕光滑水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B，球A距轴O的距离为L.现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动．当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是()A．球B的速度为零B．球B的速度为2gLC．球A的速度为2gLD．杆对球B的弹力方向竖直向下答案：B3－4.[斜面上的轻杆模型分析]如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是()A．4m/sB．210m/sC．25m/sD．22m/s解析：小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由2mgLsinα＝12mv2B可得vB＝4m/s，A正确.答案：A1.(多选)如图所示是网球比赛场地，已知底线到网的距离为L，运动员在网前截击，若他在球网正上方距地面H处，将球以水平速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．将球的运动视为平抛运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(ABD)A．根据题目条件能求出球的水平速度vB．根据题目条件能求出球从击出至落地所用时间tC．球从击球点至落地点的位移等于LD．球从击球点至落地点的位移与球的质量无关2.(2019·河南滑县联考)螺旋测微器是常见的长度测量工具，如图所示，旋动旋钮一圈，旋钮同时会随测微螺杆沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，已知旋钮上的可动刻度“0”刻线处A点的旋转半径为R＝5.0mm，内部螺纹的螺距x＝0.5mm，若匀速旋动旋钮，则A点绕轴线转动的线速度和沿轴线水平移动的速度大小之比为(C)A．10∶1B．10π∶1C．20π∶1D．20∶1解析：旋动旋钮一圈，测微螺杆便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，A点做圆周运动的线速度为：vA1＝2πRT，A点水平移动的速度为：vA2＝xT，带入数据得：vA1vA2＝20π∶1，选项C正确．3.(2018·安徽六安舒城中学仿真卷)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1.5m．筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10m/s2，则ω的最小值是(C)A．1rad/sB．303rad/sC.10rad/sD．5rad/s解析：受力分析如图，受重力G，弹力N，静摩擦力f.由牛顿第二定律可知，mgcosθ＋N＝mω2r，在平行于桶壁方向上，fmax＝μN≥mgsinθ.由以上式子，可得ω≥10rad/s，则ω最小值是10rad/s，故C正确．[A组·基础题]1.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2.则ω的最大值是(C)A.5rad/sB．3rad/sC．