复变函数论第三版钟玉泉5解析函数的洛朗展式与孤立奇点

12020/4/13第一节解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.解析函数的洛朗展式3.洛朗级数与泰勒级数的关系4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式5.典型例题第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点22020/4/131.双边幂级数),2,1,0(ncn定义称级数（1）为双边幂级数（1）的系数。双边幂级数为双边幂级数，其中复常数nnnnnnnzzczzczzczzczzcczzc)()()()()(02020100100负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分注:主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(000132020/4/13nnnzzc)(00nnnzzc)(0110)(zz令nnnc1若1R011zzrR收敛域为的收敛半径为R,0zzR收敛域为时收敛,1():rR若两收敛域无公共部分,2():rR两收敛域有公共部分H:0.rzzR这时,级数(1)在圆环H:r|z-a|R收敛于和函数f(z)=f1(z)+f2(z)42020/4/13定理5.1设双边幂级数(1)的收敛圆环为H:r|z-a|R(r≥0,R≤+∞)则(1)级数在H内绝对收敛且内闭一致收敛于:f(z)=f1(z)+f2(z).(2)f(z)在H内解析.nnnazczf)()((3)函数在H内可逐项求导p次(p=1,2,…).(4)函数f(z)可沿H内曲线C逐项积分.52020/4/13定理5.2(洛朗定理)在圆环H:r|z-a|R,(r≥0,R≤+∞)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数)(()nnnczfaz其中110122(),(,,,),()nnfcdnia(2)2.解析函数的洛朗(Laurent)展式||(),(()).narRfzHc并且展式是唯为圆周即及圆环唯一地决系数一定了的(3)62020/4/13)(()nnnczfaz110122(),(,,,),()nnfcdnia(2)2.解析函数的洛朗(Laurent)展式定义5.1(2)式称为f(z)在点a处的罗朗展式，(3)称为其罗朗系数，而(2)右边的级数则称为罗朗级数。(3)注:泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。3.洛朗级数与泰勒级数的关系72020/4/1332z321z例1求函数分别在圆环及的洛朗级数。(1)在圆环内于是有洛朗级数131,|z2|z3/13//21132zzzzzzzzf　011032nnnnnnzzz32)3)(2(zzzzf解82020/4/13(2)在圆环上,,于是有洛朗级数z3131,|z2|z　0032nnnnnnzz123nnnnz　解zzzzzzzf/311/21132321z例1求函数分别在圆环及的洛朗级数。z32)3)(2(zzzzf92020/4/13z02sinzzzf例2求函数在内的洛朗级数。z0zezf1例3求函数在内的洛朗级数。31z)3)(1(12zzzf例4求函数在内的洛朗级数。102020/4/134.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义5.2如果f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}：0|z-a|R内解析，点a是f(z)的奇点，则称为f(z)的孤立奇点.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}：0|z-a|R内能展成洛朗级数。112020/4/134.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式将函数展成洛朗级数的常用方法。1.直接展开法:利用定理公式计算系数nc),2,1,0(d)()(π2110nzficCnn然后写出.)()(0nnnzzczf2.间接展开法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.122020/4/13例1内将函数在0z3()zefzz展开成洛朗级数.5.典型例题z02sinhzzzf例2求函数在内的洛朗级数。Rz0zzf1tan例3试问函数能否在内展成洛朗级数？132020/4/13第二节解析函数的有限孤立奇点2.孤立奇点的性质3.Picard定理4.Schwarz引理1.孤立奇点的分类142020/4/131.孤立奇点的分类.)()()()(01nnnnnnnnnazcazcazczf0nnnazc)(如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域K-{a}内可以展成罗朗级数则称为f(z)在点a的正则部分,而称1nnnazc)(为f(z)在点a的主要部分。152020/4/131.孤立奇点的分类定义5.3设a为f(z)的孤立奇点.(1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为f(z)的可去奇点;(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,设为则称a为f(z)的m阶极点，一阶极点也称为简单极点；(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.),0()()(11)1(mmmmmcazcazcazc162020/4/13定理5.3若a为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。)()(limbzfaz(2)(1)f(z)在点a的主要部分为零;(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界。2.可去奇点的性质172020/4/13Razazcazcczf02210　0limczfaz证(1)(2).由(1)有因此182020/4/13证(2)(3).因,|)(|,||0:,0,0bzfazz有则bzfazlim的去心邻域内有界。在即有于是azfbzf)(,|||)(|,(3)(1).因主要部分的系数其中,可任意小，故daficnn121a:nnnnMMdafc2212111　,210，　　　ncn192020/4/13Schwarz引理如果函数f(z)在单位圆|z|1内解析,并且满足条件f(0)=0,|f(z)|1(|z|1)，则在单位圆|z|1内恒有|f(z)|≤|z|,且有.3.施瓦茨(Schwarz)引理如果上式等号成立,或在圆|z|1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.),|(|)(1zzezfi1|)0(|f202020/4/134.极点的性质);()(01mmmcazcazcmazzzf)()()(定理5.4如果f(z)以a为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征。(1)f(z)在a点的主要部分为(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表示成其中λ(z)在点a的邻域内解析,且λ(a)≠01(3)()()gzfz以点a为m阶零点。注意第(3)条表明：f(z)以点a为m阶极点的充要条件是以点a为m阶零点。)(1zf定理5.5f(z)的孤立奇点a为极点)(limzfaz212020/4/13.)(lim)()(lim不存在，即有限数广义zfbzfazaz定理5.6f(z)的孤立奇点a为本性奇点5.本性奇点的性质定理5.7若z=a为f(z)的本性奇点,且在点a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为)(zf1的本性奇点.222020/4/13奇点孤立奇点非孤立奇点支点可去奇点极点本性奇点（单值函数的）（多值函数的）232020/4/13.)(limAzfnazn定理5.8如果a为f(z)的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛与a的点列{zn},使得6.Picard(皮卡)定理定理5.9(皮卡(大)定理)如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).242020/4/13第三节解析函数在无穷远点的性质定义5.4设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域N-{∞}：+∞|z|r≥0内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换,于是)()'1()'(zfzfz在去心邻域:)10(1|'|0}0{rrrzK规定如：(5.12)zz1的孤立奇点。就为)(0zz内解析，则252020/4/13(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;(2)在对应点z与z/上,函数)'()(zzf(3)),'(lim)(limzzfzz0或两个极限都不存在.注：262020/4/13定义5.5若z/=0为)'(z的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点,则相应地称z=∞为f(z)的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.设在去心邻域内将)'(z展成罗朗级数:nnnzcz')'(rzK/1||0:}0{272020/4/13定理5.3/(对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在的主要部分为零;(2)(3)f(z)在的某去心邻域N-{∞}内有界.z);()(limbzfzz282020/4/13定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:);0(221mmmbzbzbzb(1)f(z)在z=∞的主要部分为),()(zzzfm(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令g(∞)=0).其中在z=∞的邻域N内解析,且)(z;0)(292020/4/13定理5.5’(对应于定理5.5)f(z)的孤立奇点∞为极点的充要条件是定理5.6’(对应于定理5.6)f(z)的孤立奇点∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂不等于零.)(limzfz)(limzfz广义不存在(即当z趋向于∞时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).(2)302020/4/13第四节整函数与亚纯函数1.整函数2.亚纯函数312020/4/13在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.).||0()(0zzczfnnn(5.14)设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且可设1.整函数322020/4/13定理5.10若f(z)为一整函数,则(1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.(2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多项式).0(10mmmczczcc(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).332020/4/13定义5.6在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数.2.亚纯函数定理5.11一函数f(z)为有理函数的充要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外没有其它类型的奇点.定义5.7非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数