中考数学教材同步复习函数课二次函数的综合与应用课件

教材同步复习第一部分第三章函数课时12二次函数的综合与应用•知识点一二次函数与方程、不等式的关系•1．二次函数与一元二次方程•二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，函数图象与x轴的交点情况可由对应方程的根的判别式①_____________的符号来判定.知识要点·归纳b2－4ac2•【注意】用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象估计一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根时，一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴的交点的横坐标的值．b2－4ac的符号b2－4ac②______0b2－4ac③______0b2－4ac④________0抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的个数两个交点⑤________个交点无交点一元二次方程ax2＋bx＋c＝0实数根的情况⑥______个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根＝一两3•2．二次函数与不等式•二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝kx＋m相交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2)，当a0时，不等式ax2＋bx＋ckx＋m的解集是⑦__________________，不等式ax2＋bx＋ckx＋m的解集是⑧______________；当a0时，不等式ax2＋bx＋ckx＋m的解集是⑨______________，不等式ax2＋bx＋ckx＋m的解集是⑩__________________.•【注意】由二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值y0(或y0)，即可得到一元二次不等式ax2＋bx＋c0(或ax2＋bx＋c0)，此时确定不等式的解集就转化为求抛物线位于x轴上方(或下方)时对应点的横坐标的取值范围．xx1或xx2x1xx2x1xx2xx1或xx24•1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，那么关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是()•A．无解•B．x＝－4•C．x＝－1•D．x＝－1或x＝4D52．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，当y＜0时，x的取值范围是____________.1＜x＜36•知识点二二次函数的应用•1．解题步骤•(1)根据题意得到二次函数的解析式；•(2)根据已知条件确定自变量的取值范围；•(3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最大(小)值．•【注意】二次函数的最大(小)值不一定是实际问题的最大(小)值，一定要结合实际问题中的自变量的取值范围确定最大(小)值．7•2．常考题型•抛物线型的二次函数的实际应用，此类问题一般分为四种：•(1)求高度，此时一般是求二次函数图象的顶点的纵坐标，或根据自变量的取值范围，利用函数增减性求二次函数的最值；•(2)求水平距离，此时一般是令函数值y＝0，解出所得一元二次方程的两个根，求两根之差的绝对值；•(3)用二次函数求图形面积的最值问题；•(4)用二次函数求利润最大问题．8•3．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是•()•A．6sB．4s•C．3sD．2s•4．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为______元．A259知识点三二次函数与几何图形的综合探究1．最值问题当二次函数的自变量x取全体实数时，我们可将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成顶点式y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a，直接可得函数最值为4ac－b24a，也就是抛物线顶点的纵坐标．10•2．存在性问题•注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，再借助已知条件求解，如果有解(求出的结果符合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无解(推出矛盾或求出的结果不符合题目要求)，则假设不成立，即不存在．•3．动点问题•通常利用数形结合、分类讨论和转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解．11•5．已知二次函数的图象(0≤x≤4)如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是()•A．有最大值2，有最小值－2.5•B．有最大值2，有最小值1.5•C．有最大值1.5，有最小值－2.5•D．有最大值2，无最小值A12重难点·突破考点二次函数与几何图形的综合探究(高频考点)例(2018·资阳)已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A(0,6)，B(6,0)，C(－2,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．13•(1)求抛物线的解析式；•(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？•(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．14☞思路点拨(1)已知B，C的坐标，设抛物线的解析式为交点式，将点A坐标代入求解即可；(2)作PM⊥OB于点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，求出直线AB的解析式为y＝－x＋6，设P(t，－12t2＋2t＋6)，则N(t，－t＋6)，由S△PAB＝S△PAN＋S△PBN＝12PN·AG＋12PN·BM＝12PN·OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；(3)若△PDE为等腰直角三角形，则PD＝PE，设点P的横坐标为a，表示出PD，PE的长，列出关于a的方程，求解即可．15【解答】(1)∵抛物线过点B(6,0)，C(－2,0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－6)(x＋2)．将点A(0,6)代入得，－12a＝6，解得a＝－12，∴抛物线的解析式为y＝－12(x－6)(x＋2)＝－12x2＋2x＋6.16(2)如答图，过点P作PM⊥OB于点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G.设直线AB的解析式为y＝kx＋b，将A，B两点坐标代入得，b＝6，6k＋b＝0，解得k＝－1，b＝6，则直线AB的解析式为y＝－x＋6.设P(t，－12t2＋2t＋6)，其中0＜t＜6，则N(t，－t＋6)，17∴PN＝PM－MN＝－12t2＋2t＋6－(－t＋6)＝－12t2＋2t＋6＋t－6＝－12t2＋3t，∴S△PAB＝S△PAN＋S△PBN＝12PN·AG＋12PN·BM＝12PN·(AG＋BM)＝12PN·OB＝12·(－12t2＋3t)·6＝－32t2＋9t＝－32(t－3)2＋272，∴当t＝3时，△PAB的面积有最大值．18(3)存在，理由如下：若△PDE为等腰直角三角形，则PD＝PE.设点P的横坐标为a，∴PD＝－12a2＋2a＋6－(－a＋6)＝－12a2＋3a，PE＝2|2－a|，∴－12a2＋3a＝2|2－a|.解得a＝4或a＝5－17，∴存在点P使△PDE为等腰直角三角形，此时点P的坐标为(4,6)或(5－17，317－5)．19•二次函数的综合题结合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形、圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合．用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想，以及代入法、消元法、配方法、待定系数法等．解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的．20练习如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为P(2,9)，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(0,5)．(1)求二次函数的解析式及点A，B的坐标；(2)设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．21解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋9，把C(0,5)代入得到a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x－2)2＋9，即y＝－x2＋4x＋5，令y＝0，得到x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5，∴A(－1,0)，B(5,0)．(2)设点Q(m，－m2＋4m＋5)，则Q′(－m，m2－4m－5)．把点Q′坐标代入y＝－x2＋4x＋5，得到－m2－4m＋5＝m2－4m－5，∴m＝5或m＝－5(舍去)，∴Q(5，45)．22(3)如答图，作MK⊥对称轴x＝2于点K.①当MK＝OA，NK＝OC＝5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y＝8，∴M(1,8)，N(2,13)，②当M′K＝OA＝1，KN′＝OC＝5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′(3,8)，N′(2,3)．23