高中数学北师大版必修四课件：第1章-4.1+4.2-单位圆与周期性

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性上一页返回首页下一页1．理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)3.理解周期函数的定义．(难点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1正、余弦函数阅读教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列问题．任意角的正弦、余弦函数的定义(1)单位圆的定义在直角坐标系中，以为圆心，以为半径的圆，称为单位圆．原点单位长上一页返回首页下一页(2)如图1－4－1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：图1－4－1非负半轴上一页返回首页下一页正弦函数余弦函数定义点P的定义为角α的正弦函数，记作v＝点P的定义为角α的余弦函数，记作通常表示法y＝sinx定义域为，值域为y＝cosx定义域为，值域为在各象限的符号纵坐标vsinα横坐标uu＝cosα全体实数[－1,1]全体实数[－1,1]上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．()(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，而不用角度制．()(3)角α确定，则角α的正弦、余弦函数值与点P在终边上的位置无关．()(4)若sinα0，则α为第三或第四象限角．()上一页返回首页下一页【解析】根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角度制表示时，如30°＋sin30°就无法进行运算，改用弧度制时，π6＋sinπ6就可以运算了，即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而(2)正确；若sinα0，α的终边也可能落在y轴的负半轴上，因而(4)错．【答案】(1)√(2)√(3)√(4)×上一页返回首页下一页教材整理2周期函数阅读教材P16～P17练习以上部分，完成下列问题．1．终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系．(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋k·2π)＝(k∈Z)．(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋k·2π)＝(k∈Z)．sinxcosx上一页返回首页下一页2．一般地，对于函数f(x)，如果存在，对定义域内的x值，都有，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中的一个，称为．非零实数T任意一个f(x＋T)＝f(x)最小最小正周期上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函数的周期．()(2)f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，故f(x)＝x2为周期函数．()(3)对正弦函数f(x)＝sinx有fπ4＋π2＝fπ4，所以π2是f(x)的周期．()【解析】(1)错误．k∈Z且k≠0时，2kπ是正弦、余弦函数的周期．(2)错误．因为f(－2＋6)≠f(－2)．(3)错误．fπ＋π2≠f(π)不满足任意性．【答案】(1)×(2)×(3)×上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________上一页返回首页下一页[小组合作型]正弦、余弦函数的定义已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sinθ，cosθ.【精彩点拨】利用正弦函数、余弦函数的定义可求sinθ，cosθ.上一页返回首页下一页【自主解答】当a0时，r＝a2＋a2＝2a，得sinθ＝a2a＝22，cosθ＝a2a＝22.当a0时，r＝a2＋a2＝－2a，得sinθ＝a－2a＝－22，cosθ＝a－2a＝－22.上一页返回首页下一页利用三角函数的定义求值的策略1．求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．2．若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．3．若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．上一页返回首页下一页[再练一题]1．已知角α的终边在直线y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值.【导学号：66470006】上一页返回首页下一页【解】设直线上任意一点P(a,2a)，a≠0，则r＝a2＋2a2＝5|a|.当a0时，sinθ＝2a5|a|＝25＝255，cosθ＝a5|a|＝15＝55.当a0时，sinθ＝2a5|a|＝－25＝－255，cosθ＝a5|a|＝－15＝－55.上一页返回首页下一页三角函数值的符号判断(1)判断符号：sin340°·cos265°；(2)若sin2α0，且cosα0，试确定α所在的象限．【精彩点拨】(1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号．(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象限．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°0，cos265°0，∴sin340°·cos265°0.(2)∵sin2α0，∴2kπ2α2kπ＋π(k∈Z)，∴kπαkπ＋π2(k∈Z)．当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2mπα2mπ＋π2(m∈Z)；上一页返回首页下一页当k为奇数时，设k＝(2m＋1)(m∈Z)，有2mπ＋πα2mπ＋3π2(m∈Z)．∴α为第一或第三象限角．又由cosα0，可知α为第三象限角．上一页返回首页下一页1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sinα0；当角α的终边在y轴的右侧时，cosα0.2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．3．由kπθkπ＋π2(k∈Z)确定θ所在象限时应对k进行分类讨论．上一页返回首页下一页[再练一题]2．(1)判断sin2·cos3sin4·cos6的符号；(2)若sinα0，cosα0，判断角α所在象限．【解】(1)∵2∈π2，π，3∈π2，π，4∈π，3π2，6∈3π2，2π，∴sin20，cos30，sin40，cos60，∴sin2·cos3sin4·cos60.上一页返回首页下一页(2)∵sinα0，∴α的终边在一、二象限或y轴的正半轴上．∵cosα0，∴α的终边在二、三象限或x轴的负半轴上．故当sinα0且cosα0时，α在第二象限．上一页返回首页下一页[探究共研型]利用正弦、余弦函数的周期性求值探究130°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？【提示】相等．探究2终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？【提示】都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等．上一页返回首页下一页探究3公式sin(2kπ＋x)＝sinx，k∈Z，cos(2kπ＋x)＝cosx，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？【提示】(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．上一页返回首页下一页求下列各角的三角函数值．(1)sin－236π；(2)cos1500°；(3)sin174π；(4)cos253π.【精彩点拨】当角α不在0～2π之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到0～2π之间，再求值．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)sin－236π＝sin－4π＋π6＝sinπ6＝12.(2)cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)sin174π＝sin2π×2＋π4＝sinπ4＝22.(4)cos253π＝cos2π×4＋π3＝cosπ3＝12.上一页返回首页下一页1．利用终边相同的正弦、余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想．2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值．3.π6π4π3π22π33π45π6正弦1222321322212余弦3222120－12－22－32上一页返回首页下一页[再练一题]3．求下列三角函数值．(1)cos(－1050°)；(2)sin－31π4；(3)log2(4sin1110°)．上一页返回首页下一页【解】(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角与30°的角终边相同．∴cos(－1050)°＝cos30°＝32.(2)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴角－31π4与角π4的终边相同．∴sin－31π4＝sinπ4＝22.上一页返回首页下一页(3)∵sin1110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin30°＝12，∴log2(4sin1110°)＝log212×4＝log22＝1.上一页返回首页下一页[构建·体系]上一页返回首页下一页1．已知P(3,4)是终边α上一点，则sinα等于()A.34B．43C．45D．35【解析】∵r＝32＋42＝5，∴sinα＝45.【答案】C上一页返回首页下一页【解析】cos25π6＝cos4π＋π6＝cosπ6＝32.【答案】D2．cos25π6的值为()A．－12B．－32C．12D．32上一页返回首页下一页3．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.【导学号：66470007】【解析】f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.【答案】14．使得lg(cosα·tanα)有意义的角α是第________象限角．【解析】要使原式有意义，必须cosα·tanα0，即需cosα·tanα同号，所以α是第一或第二象限角．【答案】一或二上一页返回首页下一页5．求下列各式的值．(1)sin1470°；(2)cos9π4.【解】(1)sin1470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin30°＝12.(2)cos9π4＝cos2π＋π4＝cosπ4＝22.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)____________