等比数列(1)

等比数列的概念及通项公式(1)2020加油！河北省武安市第一中学学习目标1.记住并理解等比数列的定义，并能用定义判断一个数列是否为等比数列；2.记住等比数列的通项公式，并能进行相关运算；等比数列的定义、通项公式对等比数列定义的理解，通项公式的推导.情景1：•①如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816…知识引入1214181161321战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话:，，，，，，…情境2一尺之棰日取其半万世不竭.这些剩余长度组成下面的数列：（1）1,2,4,8,.…..共同特点：,321,161,81,41,21,1（2）从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.36，36×0.9，36×0.92,360.93,…（3）知识讲授一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。1.等比数列定义定义式)2(1nqaann或)(*1Nnqaann说明：(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0；(1)等比数列｛an｝中,an≠0；(3)若q＝1，则该数列为常数列．(4)常数列a,a,a,a,…0a时,既是等差数列，又是等比数列;0a时,只是等差数列，而不是等比数列.2.等比数列的通项公式：以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式为：如何推导？等比数列通项公式的推广：等比数列的通项公式及应用知识应用一例1：在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解]设公比为q，(1)(解法一)因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8.②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.(解法二)因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝22n－53.[变式训练1](1)在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则an＝__________.(2)在等比数列{an}中，an0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝__________.(3)已知等比数列{an}的公比为正数，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝__________.n21-n222做一下发到群里。答案+学号你做对了吗？知识应用二等比数列的判定例2：数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*，且n≥2)．(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)∵a1＝－1，an＝3an－1－2n＋3，∴a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面证明{an－n}是等比数列：an＋1－n＋an－n＝3an－n＋＋3－n＋an－n＝3an－3nan－n＝3(n＝1,2,3，…)．又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．nannananannn)1(3)1(23)1(1n(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.做题心得1.要证明一个数列是等比数列，只能利用等比数列的定义，证明anan－1＝q(q为非零常数)才可以．2.判定一个数列为等比数列时应注意：必须满足从第二项起，后一项与前一项的比为同一个非零常数，若是从第三项起才满足，则数列不是等比数列．[变式训练2]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：证法一：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.所以an＋1＋1an＋1＝2(n∈N*)．所以数列{an＋1}是等比数列．证法二：∵an＋1＋1an＋1＝2an＋1＋1an＋1＝2an＋1an＋1＝2(n∈N*)，∴数列{an＋1}是等比数列．(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.一个定义）（0qqaan1n一个判定方法由定义判定数列为等比数列两个思想方程思想和类比思想课后作业：1、整理这节课的重点题型到错题本2、预习等比中项及其应用