二维小波变换与图像处理

第六章二维小波变换与图像处理二维信号也称图像信号。为了避免引进第二维之后问题的复杂性，我们可以把图像信号分解成沿行和列的一维问题来处理。本章内容结构二维小波变换二维多分辨率分析及小波子空间分析图像的多分辨率分解和合成6.1二维小波变换图像的·自身的特点决定了我们在将小波变换应用到图像处理中时，必须把小波变换从一维推广到二维。二维连续小波定义令表示一个二维信号，x1、x2分别是其横坐标和纵坐标。表示二维基本小波，二维连续小波定义：)(),(2221RLxxf),(21xx),(1),(),(),(221121,;2121,;2121abxabxaxxxxxxbbabba的尺度伸缩和二维位移表示令二维连续小波定义则二维连续小波变换为：式中因子是为了保证小波伸缩前后其能量不变而引入的归一因子。2122112121,;2121),(),(1),(),,(),;(21dxdxabxabxxxfaxxxxfbbaWTbbafa1二维连续小波的反演小波变换2122221221221121032121),(41),(),;(1),(ddcdbdbabxabxbbaWTadacxxff其中二维连续小波的一般表示形式二维连续小波可以更一般的表示为arAxdabxrxfaxxfbaWTabxrabxAAxxxfbaWTRbAfbAbAf))(()(1)(),(),())((1)]([1)()(),(),(1,11,,2所以式中TTbbbxxxAa],[,],[,det2121式中：二维小波变换的特点特点（1）二维小波变换具有旋转能力，不但有放大的能力，而且有“极化”性质。（2）变换后有了4个变量。因此信息必定有冗余。21221122112121)cos)(sin)(,sin)(cos)((),(1),;,(dxdxabxbxabxbxxxfabbaWTf二维连续小波变换的离散化首先先把旋转尺度因子A改为：式中aij都取整数，所以有21122211aaaaA)(),(),()]([1)(,1,xxfbAWTbxAAxbafba二维连续小波变换的离散化把A和都离散化。bnAbAAjj00,2122)(1)(12)(1)(21000,00,],[),(][)()(),(),(][)(222112112dxdxnxaxanxaxaxxfAxdnxAxfAxxfnjWTnxAAxjjjjjjRjnjfjjnj6.2二维多分辨率分析及小波子空间分析首先，回顾一位多分辨率分析的概念和相关知识。然后推广到二维中去。ZkjkjZkjkjkjkjkkjkjkjjjjjjjjjtWtVtdtxxfDxfPxfPxVxVxWxWxVxV)()()()()()()()(/)()()()()()()(111的基函数是，的基函数是其中，，，在一维多分辨率分析中)(),()(),()(),()(),()()()(xxfxxfDdxxfxxfPxxjkjkjjkjkjkjjk则是标准正交尺度函数，如果的展开形式。和同样，我们讨论下式中仅是补子空间其中，仍然存在如下关系：在二维多分辨率分析中),(),(),(),(),(),(),(/),(),(),(),(),(212121212112121211212121211xxfDxxfPxxfDxxfPxxfPxxWxxVxxVxxWxxWxxVxxVjjjjjjjjjjjj假设二维空间是可分离的，即它可以分解成两个一维空间的张量乘积，可得)()(21xVxVjj和),(21xxVj)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([)()(),(2121212122112111211xWxWxVxWxWxVxVxVxWxVxWxVxVxVxxVjjjjjjjjjjjjjjj在一维多分辨率中各子空间的基函数表现形式可知的正交归一基为：)()(),(2121xVxVxxVjjj。是平滑逼近的低通空间因此都是低通的尺度函数，和式中),()()()2(2)2(2)()(2121222112212121xxVxxkxkxxxjjkjkjjjjjkjk同样可以得到：)2(2)2(2)()()()(),()]()([)]()([)]()([),(222112112121121212121121kxkxxxxWxVxxWxWxWxVxWxWxVxxWjjjjjkjkjjjjjjjjjj，它的正交归一基是：第一部分由三个部分组成：由上式可知：补空间细节。，即它们反映的是高通，所以它们都是带通的或的中都至少含有一个带通这三部分的正交归一基，它的正交归一基是：第三部分，它的正交归一基是：第二部分)()()2(2)2(2)()()()()2(2)2(2)()()()(21222112112122211211212121xxkxkxxxxWxWkxkxxxxVxWjjjjjkjkjjjjjjjkjkjj所以，在用这种张量表示的情况下，也可以相应地分解为中的分量和中的三个部分分量，具体表示为：)()(),(2111211xVxVxxVjjj),(),(211211xxVxxfPjj),(21xxVj),(21xxWj)()()()()()()()(),(),(),(21)(21)(21)(21)(2121211221121221121221121221121xxxxxxxxxxxfDxxfPxxfPjkkkjkjkkjkkkjkjkkjkkkjkjkkjkkkjkjkkjjj二维空间的子空间分解关系同样，在二维多分辨率分析中，子空间的分解关系同于一维情形，即：只有给定是正交尺度函数时，中的基函数，中三个部分表示的基函数才是关于平移和尺度正交的。),()(),,(),(),(2122121211xxWRLZjxxWxxVxxVjZjjjj),(21xx),(21xxVj),(21xxWj在这种正交基的情况下，我们把系数表示为：)()(),,()()(),,()()(),,()()(),,(2121)(2121)(2121)(2121)(2121212121212121xxxxfxxxxfxxxxfxxxxfxjkjkjkkjkjkjkkjkjkjkkjkjkjkk6.3图像的多分辨率分解和合成上节分析结果说明，在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。首先沿x1方向分别用和做分析，把分解成平滑逼近和细节这两部分。然后对这两部分再沿x2方向分别用和做类似分析。四路中，经处理所得得一路是的第一级平滑逼近，其余三路为细节函数。)(1x)(1x),(21xxf)(2x)(2x)()(21xx),(21xxf),(211xxfA可分离情况下的多分辨率分解当做一级分析时（j=1）有)()(),,(),()()(),,(),()()(),,(),()()(),,(),(21112121)3(21112121)2(21112121)1(21112121121121121121xxxxfxxfDxxxxfxxfDxxxxfxxfDxxxxfxxfAkkkkkkkk可分离分解滤波器组结构当做j级分析时有)()(),,(),()()(),,(),()()(),,(),()()(),,(),(212121)3(212121)2(212121)1(21212121212121xxxxfxxfDxxxxfxxfDxxxxfxxfDxxxxfxxfAjkjkjjkjkjkjkjjkjkjj可分离分解滤波器组结构一级分解各分量示意图图像可分离二维多分辨率的三级分解可分离重建滤波器组结构二维离散小波函数介绍分解函数dw2单尺度二维离散小波变换wavedec2多尺度二维小波分解（二维多分辨率分析函数）wmaxlev允许的最大尺度分解合成重构工具idwt2单尺度逆二维离散小波变换waverec2多尺度二维小波重构wrcoef2对二维小波系数进行单支重构upcoef2对二维小波分解的直接重构分解结构工具detcoef2提取二维小波分解高频系数appcoef2提取二维小波分解低频系数upwlev2二维小波分解的单尺度重构二维离散平稳小波变换swt2二维离散平稳小波变换iswt2二维离散平稳小波逆变换