数分答案--微分中值定理及其应用

壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3nxxccxpxqnpqnnxxcxxfxxxc证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1](2)2220nxxxfxfxxxxccnnkxpxqx。那么由罗尔定理可知存在使得但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0nnnxxfxxpxqxxxxxxfxfxfxnxpfxnxp使得函数成立。那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212nnxxxffxnnxxxxnkpnnkxpxq再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。当时,设方程1234111212231334111213111110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(nnxxxxfxxpxqxxxxxxxxxfxfxfxfxnxpfx有三个实根,即存在实数使得函数成立。那么利用罗尔定理可知存在使得即有112121131321111222121321222212122222212)0,'()0(,),(,)''()''()0,''()(1)0.''()(1)0212,nnnnnxpfxnxpxxxxxxfxfxfxnnxfxnnxnkxx于是就存在使得即由于于是此时必有221111222121321220;(,),(,),,0(,,)nxxxxxxxxnxpxqnpq但是由于可知必有出现了矛盾。因此当为奇数时,方程为正整数为实数至多有三个实根。贰112.()(1),,[0,1],(0,1).1(0)(1)0,,(0,1)'()0,(1)(1)0,0,1mnmnmnfxxxmnxmnfffmn设为正整数,则存在使得证明：容易知道于是作为多项式函数必有使得即由于0,(1),1mnmn因此整理可得即有成立,得证。3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1)sinsin,,(,);()sin,[,](,)sinsin'(),sinsinmax'()maxcos1,sinsin.xyxyxyfttxyxyxyfxyxyfttxyxyxy证明：由拉格朗日中值定理可知函数在区间上存在使得于是整理后即得2(2)tan,(,),0;22()tan,[0,](0,)tantan0tan'(),0tan1min'()min1,costan.xxxxfttxxxxfxxxftxtxxg等号成立当且仅当证明：由拉格朗日中值定理可知函数在区间上存在使得于是整理后即得对于函数()tan,(0)0,'()0,(,0)(0,);022tanxxxggxxxxx满足且有当即当时必有成立。叁0(3)1,0;0()[0,](0,)()(0)1'(),'();01'()1;1.0()[,0]xtxxxtexxxftexxfxfeffxxefeexexxftex证明：当时,由拉格朗日中值定理可知函数在区间上,存在使得即于是有整理即得当时,由拉格朗日中值定理可知函数在区间上,存在0(0,)(0)()1'(),'();01'()1;1.1,0.xxxxxffxeffxxefeexexexx使得即于是有整理即得综上有(4)ln,0;()ln[,](,),()()'(),1lnln,1lnminxtyyxyyxxyyxxfttxyxyfyfxfyxyxyxt证明：由拉格朗日中值定理可知函数在区间上有使得即有于是有ln1max,1lnln1,ln.xtyyxyxtyxyyxxyxyyxyxx故有整理即得肆220(5)arctan,0.1()arctan[0,](0,),()(0)'(),01arctan,1mintxxxxxxfttxxfxffxxx证明：由拉格朗日中值定理可知函数在区间上有使得即有于是有2202221arctan1max,111arctan1,110arctan.1txxtxtxxxxxxx故有整理即得20000004.()()2()lim''().'()'()''()lim()()()()limlimlim(limhhhhhhafahfahfafahfahfafahfahfafafahhhhf设函数在点具有连续二阶导数,证明：证明：220)()2().()()2()lim''().hahfahfahfahfahfafah因此有5.lim'(),0,lim[()()].[,](,)()()'(),lim'()xxxfxaTfxtfxTaxxTxxTfxTfxfTxf设求证：任意有证明：在区间上有使得在此式两边对取极限可得()()lim.,()()limlim'().lim[()()].xxxfxTfxTxfxTfxfaTfxtfxTa由于即有整理即得伍22222226.()[,]0,(,),2[()()]()'().()[()()]()(),()()()().(,)fxabaabfbfabafFxxfbfabafxFaafbbfaFbab设函数在可导,其中证明：存在使得证明：构造函数易知于是由罗尔定理可知存在2222,'()0,'()2[()()]()'()0;2[()()]()'().FFfbfabaffbfabaf使得即整理即得0000007.()(,)lim()lim(),(,),'()0.max(,0),().()()[,)()[,xxafxafxfxAafbaAtbFtbatftabbtFtab设在上可导,且求证：存在使得证明：取构造函数可以知道函数在区间000000200000200]()().(,),'()0,()()()()'()'()0,()()()'()0,()tttttttttttFaFbAabFbabbabaFfbbbabbafbbb上连续,且满足那么由罗尔定理可知存在使得即整理得由000200000()max(,0)0,()()'()0.()(,),tttttbababbafbbaab知于是取,易知即为所求。1212128.()()()'()()()(),,()(,),'()()'()xfxfxfxfxxxfxFxfxexxFxxxFefef设可导,求证:的两个零点之间一定有的零点。证明：设是函数的两个零点。构造函数易知也是函数的两个零点。于是由罗尔定理可以知道,存在使得0.[()'()]0,0,()'()0.()()'()effefffxfxfx于是由于必有因此因此在的两个零点之间一定有的零点。陆000000000009.(),,lim'(),'()'().(0,1)()()'(),0()()limxxxfxxxfxAfxfxAfxxfxfxxxxfxxfx设函数在点附近连续除外可导且求证：存在,且证明：根据拉格朗日中值定理可知存在使得我们在此式两边令取极限可得0000000000000lim'(),()()lim'(),lim'()lim'(),'()lim'().'()'().xxxxxxxfxxxfxxfxfxfxxfxAxfxfxAfxfxA由于而于是有即存在,且10.()[,]'()'(),'(),'()(,),'().()().()[,]'()'(),'()'(),'(),'()fxabfafbkfafbabfkgxfxkxgxabgafakgbfbkfakfbkg若在上可导,且为介于之间的任一实数,则至少存在一点使得证明：构造函数显然函数在上可导,且显然必是一正一负。不妨设'()'()0,'()'()0.()()lim0,()()lim0.()()0,(,)0;(,)2xaxbafakAgbfbkBgxgaAxagxgbBxbgxgaAxaaxbbxa于是那么由极限的保号性可知当时有当()()0.()(),()();222[,]().'()0,'()0.22(,),'().gxgbBgagagbgbxbabgxgfkabfk时有于是可得那么我们可以知道在区间上必存在函数的一个极大值点于是有即于是存在一点使得柒000000011.()(,)'()'()(,)'()(,)(,),'()(,)'()(,)'()lim'()lim'()xxxxfxabfxfxabfxababxfxaxfxxbfxfxfx设函数在区间内可导,且单调,证明：在连续。证明：不妨设在区间内单调上升。从而对内任意一点在内以为上界,在内以为下界；那么由单调有界原理可以知道极限与存在。我们知道导函数不可能有第一类间00000lim'()lim'()'(),'()(,)()(,),(,xxxxfxfxfxxxfxabfxaba断点,于是此时必有即导函数在点连续。由点的任意性可以知道函数在连续。***********************导函数没有第一类间断点******************************设在区间上处处可导证明在000000)'()'()()(,),(,),'()'()()()limxxbfxfxfxabxabfxfxfxfxxx的点或是的连续点,或是的第二类间断点。证明：由于在区间上处处可导那么对于有00000'()()limlim'()lim'()xxxxxfxxxxff拉格朗日中值定理00000000lim'();.'()'()lim'().'()'()lim'().(,),'()'()xxxxxxfxxxfxxfxfxfxxfxfxabfxfx其中于是在处有右极限时,必有同理可得若在处有左极限时,必有因此在区间上任意一点处除非至少有一侧无极限,不然在此处连续。捌12.(),(),()[,](,),(,)()()()()()()0.'()'()'()()()()()(