高三数学二轮专题复习教案：极限导数和复数

高三数学二轮专题复习教案：极限导数和复数一、本章知识结构：二、重点知识回顾（一）极限1、数学归纳法是一种用递归方法来证明与正整数有关命题的重要方法，它是完全归纳法中的一种。论证问题分为两步：证明当n取第一个值0n时结论正确；假设当n=k(k∈*N且k≥0n)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。由（1）、（2）断定命题对于从0n开始的一切正整数都成立。2、数列极限的定义复数复数的概念复数与复数分类复数相等的充要条件共轭复数复数的模复数的运算复数的加法法则复数的减法法则复数的乘法法则复数的除法法则（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）（b＋d）i复数加法的几何意义（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）（b－d）i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d＝｜z1－z2｜（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）ia＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－abc2＋d2i设na是一个无穷数列，A是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数n＞N，就有|na-A|＜ε，那么就说数列na以A为极限（或A是数列的极限），记作nlimna=A。3、数列极限的运算法则如果nlimna=A，nlimnb=B，那么(1)nlim(na±nb)=nlimna±nlimnb=A±B；(2)nlim(na·nb)=nlimna·nlimnb=A·B（3）)0(limBBAbimlaimlbannnnnnn（4）nlim（c·na）=c·nlimna=cA（c为常数）极限运算法则中的各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限。4、特殊数列的极限（1）nlimC=C（C为常数）（2）0（|a|＜1）nlimna=1（a=l)不存在（|a|＞1或a=-1）(3)nlimn1=0(α＞0的常数)(4)00ab（当k=l时）101101limkkkllnlaxaxabxbxb=0（当k＜l时)不存在（当k＞l时）说明：欲求极限的式子中，含有项数与n有关的“和式”或“积式”，应先求和或积。5、常见的数列极限的类型和求法（1）“00”型，分子、分母分别求和再转化。（2）“”型，分子、分母先求和，再化简，转化为有极限。（3）“－”型，将其看作分母为1的分式，转化求极限。6、0lim()xxfx与0limxx()fx和0limxx()fx之间的关系0lim()xxfx=a0limxx()fx=0limxx()fx=a。如果()fx在点0x处左、右极限都存在并且等值，则()fx在点0x处的极限也存在，并且与左、右极限值相同；如果()fx在0x处的左、右极限至少有一个不存在，或者左、右极限都存在但不等值，则函数()fx在点0x处没有极限，这种关系也反映出)()(xgxf、)()(xgxf、)()(xgxf、)0)(lim0)(()()(0xgxgxgxfxx且也都在0x处连续。（二）导数1.有关概念①平均变化率：xxfxxfxy)()(②函数在某一点的导数：xxfxxfxfx)()(lim)(0000/③函数的导数)(/xf＝/y＝xxfxxfxyxx)()(limlim002.导数的几何意义：是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率奎屯王新敞新疆说明：⑴.导数的几何意义可以简记为“k=)(0/xf”,强化这一句话“斜率导数，导数斜率”⑵.曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy奎屯王新敞新疆3.导数的物理意义：s=s(t)是物体运动的位移函数，物体在t=0t时刻的瞬时速度是0()st说明：⑴.物理意义在教材上只是以引例形式出现，教学大纲对它的要求不高，知道即可。⑵.物理意义可以简记为0tv=0()st4、几种常见函数的导数公式aaaeeexxxxxxxxQnnxxccxxxxaannlnlog1log1lnsincoscossin01）（，）（）（，）（），（）（）（）（为常数）（5、求导法则'')'(vuvu，'')'(uvvuuv，2'''vuvvuvu（v≠0）6、复合函数求导xy'＝xuuy''（三）复数1．复数及分类形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a为实部，b为虚部，ii是虚数单位，且满足ii2＝－1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）实数（b＝0）虚数（b≠0）纯虚数（a＝0）非纯虚数（a≠0）2．复数相等的充要条件a＋bii＝c＋diia＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）.特别地a＋bii＝0a＝b＝0（a，b∈R）.3．i的幂i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i（n∈Z）.4．复数的加法和减法（a＋bi）±（c＋di）＝（a±c）＋（b±d）i（a，b，c，d∈R）.5．复数的乘法和除法⑴复数的乘法按多项式相乘进行，即（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.⑵复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化.6．共轭复数z＝a＋bi与z－＝a－bi互为共轭复数。7．复数的模设z＝a＋bi，则复数的模：｜z｜＝r＝a2＋b28．复数与点的轨迹复数ibaz与复平面上的点baZ,是一一对应的。⑴两点间的距离公式：d＝｜z1－z2｜；⑵圆的方程：｜z－P｜＝r（以点P为圆心，r为半径）；三、考点剖析考点一：数学归纳法【内容解读】数学归纳法的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可。第一步是命题递推的基础；第二步是递推的依据，是论证过程的关键。在论证时，第一步验算n=0n中的n不一定为1，根据题目的要求，有时可为2，3等。第二步证明n=k+1时命题也成立的过程中，归纳假设P（k）起着“已知条件”的作用，必须利用归纳假设P（k），恰当的通过推理和运算推出P（k+1），否则就不是数学归纳法。第二步证明的关键是“一凑假设，二凑结论”。数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两个必要条件，两者缺一不可，两步均予以证明才具备了充分性，也就是完成了这两步的证明才能断定命题的正确性。【命题规律】数学归纳法一般出现在解答题中，与数列、函数等内容结合，难度属中等偏难。例1、（2007全国1理22）已知数列na中12a，1(21)(2)nnaa，123n，，，…．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）若数列nb中12b，13423nnnbbb，123n，，，…，证明：432nnba≤，123n，，，…．解：（Ⅰ）由题设：1(21)(2)nnaa(21)(2)(21)(22)na(21)(2)2na，12(21)(2)nnaa．所以，数列2na是首项为22，公比为21的等比数列，22(21)nna，即na的通项公式为2(21)1nna，123n，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n时，因22，112ba，所以112ba≤，结论成立．（ⅱ）假设当nk时，结论成立，即432kkba≤，也即43023kkba≤．当1nk时，1342223kkkbbb(322)(432)23kkbb(322)(2)023kkbb，又1132223223kb，所以1(322)(2)223kkkbbb2(322)(2)kb443(21)(2)ka≤412ka．也就是说，当1nk时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知432nnba≤，123n，，，…．点评：本题考查数学归纳法的证明，与数列、不等式等结合，属中等偏难的试题。例2、（2008浙江）已知数列na，0na≥，10a，22*111()nnnaaanN．记：12nnSaaa，112121111(1)(1)(1)(1)(1)nnTaaaaaa．求证：当*nN时，（Ⅰ）1nnaa；（Ⅱ）2nSn；（Ⅲ）3nT（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当1n时，因为2a是方程210xx的正根，所以12aa．②假设当*()nkkN时，1kkaa，因为221kkaa222211(1)(1)kkkkaaaa2121()(1)kkkkaaaa，所以12kkaa．即当1nk时，1nnaa也成立．根据①和②，可知1nnaa对任何*nN都成立．（Ⅱ）证明：由22111kkkaaa，121kn，，，（2n≥），得22231()(1)nnaaaana．因为10a，所以21nnSna．由1nnaa及2211121nnnaaa得1na，所以2nSn．（Ⅲ）证明：由221112kkkkaaaa≥，得111(2313)12kkkaknnaa≤，，，，≥所以23421(3)(1)(1)(1)2nnnaaaaaa≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa≤≥，故当3n≥时，21111322nnT，又因为123TTT，所以3nT．点评：本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．考点二：极限的求解【内容解读】极限主要包括数列极限和函数极限，掌握几个重要极限的求法，极限的四则运算等内容；理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限．已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限．【命题规律】极限在高中数学和高等数学中起着桥梁作用，是中学数学与大学数学的衔接点，是高中数学的新增内容，是高考的热点之一。一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，难度适中。例3、（2008陕西卷13）(1)1lim2nanna→，则a．1解：1(1)(1)1limlim1211nnaannaaanan→→点评：数列极限是高考热点题型之一，掌握几种类型的求解方法。例4、（2008重庆卷）已知函数f(x)=23(0(0xxax当时）当时），点在x=0处连续，则2221limxanann.解：0limx023lim233xxx又(0)fa点在x=0处连续，所以0lim()(0)xfxf即3a故2223131lim393xnnn点评：()fx在点0x处的极限值等于这点的函数值，即00lim()()xxfxfx。函数()fx在0x处连续，反映在图像上是()fx的图像在点x=0x处是不间断的。例5、（2007湖北理）已知p和q是两个不相等的正整数，且2q≥，则111lim111pqnnn→（）A．0B．1C．pqD．11pq解：方法一特殊值法，由题意取1,2pq，则211111limlimlim12122111pqnnnnpnnnqnnn→→→，可见应选C方法二2111111111mmxxxxx21111111mmxxxxx令1xn，m分别取p和q，则原式化为212111111111111limlim11111111111ppqqnnnnnnnnnnnn