中考专题图形与几何(矩形)

【矩形的性质与判定】1.如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M、N,当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为.解答：由翻折的性质，得AB=AB′=3,BE=B′E.∵点B′为线段MN的三等分点∴MB′=31MN或MB′=32MN∴①若MB′=31MN，则：MB′=1,B′N=2，设BE=B′E=x，得AM=22,EN=22−x,∴B′N2+EN2=B′E2，∴BE=223，②若MB′=32MN，则：MB′=2,B′N=1，同理，解得：BE=553故答案为：223或553.2.如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,点D的对应点为D′,若D′落在∠ABC的平分线上时,DE的长为()解答：如图,连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x,则PD′=BM=x，∴AM=AB−BM=7−x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+(7−x)2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4.在Rt△END′中,设ED′=a，①当MD′=3时,AM=7−3=4,D′N=5−3=2，EN=4−a，∴a2=4+(4−a)2，解得a=25,即DE=25，②当MD′=4时,AM=7−4=3,D′N=5−4=1，EN=3−a，∴a2=1+(3−a)2，解得a=35,即DE=35.故答案为：25或35.3.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时，BE的长为.解答：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示.连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90∘，当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90∘，∴点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′,AB=AB′=3，∴CB′=5−3=2，设BE=x,则EB′=x，CE=4−x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+4=(4−x)2,解得x=23，∴BE=23；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示.此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3.综上所述,BE的长为23或3.故答案为：23或3.4.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为.解答：如图1,∵将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E，∴AB′=AB=5,B′E=BE,∴CE=3−BE,∵AD=3,∴DB′=4,∴B′C=1,∵B′E2=CE2+B′C2，∴BE2=(3−BE)2+1，∴BE=35，如图2,∵将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E，∴AB′=AB=5,∵CD∥AB，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∵AE垂直平分BB′，∴AB=BF=5，∴CF=4，∵CF∥AB，∴△CEF∽△ABE，∴CF:AB=CE:BE，即4:5=CE:(CE+3)，∴CE=12，∴BE=15，综上所述：BE的长为：35或15，故答案为：35或15.5.动手操作：如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动.则点A′在BC边上可移动的最大距离为.解答：当Q点与D重合时，如图①，∵四边形ABCD是矩形，AD=5，AB=3，∴BC=AD=5,DC=AB=3,∠C=90∘，由折叠知A′1D=AD=5，在Rt△A1CD中,根据勾股定理,得：A′1C=4；当点P与B重合时,图②中的A′2在BC上最右边，此时,由折叠知：A′2B=AB=3,则A′2C=5−3=2,A′应在A′1、A′2之间移动，∴A′在BC边上可移动的最大距离为2.6.如图,矩形纸片ABCD,AB=3,AD=5,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则AP的最小值为.解答：由上一题得：2≤A′C≤4∴1≤A′B≤3∴1≤(A′B)2≤9设A′P=AP=x,BP=3−x,则：(A′B)2=(A′P)2−(BP)2，即：1≤6x-9≤9，解得：35≤x≤3故答案为：35.7.如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,点G、H在DC边上,且GH=21DC.若AB=10,BC=12,则图中阴影部分的面积为.解答：连接EF，过P作PN⊥EF，则PN⊥CD.∵在矩形ABCD中，E.F分别是边AD、BC的中点，∴四边形EFCD是矩形.∴EF=CD=AB=10,EF∥CD∴△EPF∽△HPG∴PN:PM=EF:GH=2又PN+PM=21BC=6∴PM=2，PN=4∴△EPF的面积是：21EF·PN=21×10×4=20；△HPG的面积是：21GH·PM=21×5×2=5.又∵四边形EFCD的面积=21矩形ABCD的面积=21×10×12=60.∴图中阴影部分的面积=60−20−5=35故答案为：35.8.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE.且点G在矩形ABCD内部.延长BG交DC于点F.若BC=12，CF与DF的长度相差1，则AB的长为.解答：连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90∘，EG=AE=ED，EF=EF，在Rt△EGF与Rt△EDF中，EG=ED,EF=EF∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)，∴FG=FD；设CF=x,则:①DF=x−1，AB=2x−1，BF=AB+DF=3x−2,在Rt△BFC中,BF2=BC2+CF2，解得x1=−3.5(舍去),x2=5.∴AB=2x−1=9.②DF=x+1，AB=2x+1，BF=AB+DF=3x+2,在Rt△BFC中,BF2=BC2+CF2，解得x1=−5(舍去),x2=27.∴AB=2x+1=8.故答案为：9或8.【矩形性质的有关计算】9.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()A.53B.35C.37D.45解答：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB,∠E=∠B=90∘，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，∠AFE=∠CFD，∠E=∠D，AE=CD，∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6−x，在Rt△CDF中,CF2=CD2+DF2,解得x=313，则FD=6−x=35.故选：B.10.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为.解答：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7－x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2－B′M2解得x=3或x=4，则点B′到BC的距离为2或1．11.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在EB′与AD的交点C′上，则BC:AB的值为.解答：故答案为：3.