高考数学总复习-同角三角函数基本关系式和诱导公式知识梳理教案-文

同角三角函数基本关系式和诱导公式【考纲要求】1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：,1cossin22xxsintan,cosxxxtancot1xx，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法.2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式.【知识网络】【考点梳理】考点一、同角三角函数基本关系式1．平方关系：222222sincos1;sec1tan;csc1cot.2．商数关系：sincostan;cotcossin.3．倒数关系：tancot1;sincsc1;cossec1要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sincos，221sectantan45，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点二、诱导公式sin()sin,cos()cos,tan()tan.sin()sin,cos()cos,tan()tan.sin()sin,cos()cos,tan()tan.同角三角函数基本关系式诱导公式同角三角函数基本关系式和诱导公式sin()cos,2cos()sin.2sin()cos,2cos()sin.23sin()cos,23cos()sin.23sin()cos,23cos()sin.2要点诠释：（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。“奇变”是指所涉及的轴上角为2的奇数倍时（包括4组：2，23）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.“偶不变”是指所涉及的轴上角为2的偶数倍时（包括5组：2,,,2k）,函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.（2）诱导公式的引申：sin()(1)sin,cos()(1)cos,tan()tan.()kkkkkkZ【典型例题】类型一、同角三角函数基本关系式及诱导公式例1.已知4sin5，(,)2，求cos、tan的值．【答案】3cos5，4tan3.【解析】方法一：∵4sin5，∴23cos1sin5，∵(,)2，∴3cos5，sin4tancos3.方法二：∵(,)2，∴cos0，tan0由图形可以知道：3cos5，4tan3.【总结升华】①利用公式：22sincos1求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.举一反三：【变式1】已知1cos4，(,0)2，求sin、tan.【答案】15sin4；tan15．【解析】∵1cos4，∴215sin1cos4，∵(,0)2，∴15sin4，sintan15cos.【变式2】已知3(,)2，tan2，求cos.【答案】43.类型二、三角函数式的求值、化简与证明例2.已知31sin()lg10，求cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cossin()cos2【解析】由题有31sinlg103，1sin3，原式coscoscos[cos1]cos(cos)cos221122181cos1cos1cossin【总结升华】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）应用诱导公式的重点是“函数名称”与“符号”的正确判断，常用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”.举一反三：【变式1】若33cos()25，求sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2f.【答案】45【解析】由题有3sin5，34sin,cos55，原式sincos()tan()sincostan4cos3tansin5tan()cos()2例3.化简sin()cos(1),sin(1)cos()kkkZkk【解析】（1）当2,knnZ时，原式sin()cos()sin(cos)1sin()cossincos；（2）当21,knnZ时，原式sin()cos()sincos1sincossincos.【总结升华】当三角函数式中含有k时，不能直接运用诱导公式进行变形，需对k分奇偶进行讨论.举一反三：【变式1】化简cot()sin(5)cos(8)23tan(3)sin(4)tan()2【答案】sin【解析】原式sin()tancos()sintancossintan()cotsin()tancotsin【变式2】化简sin(21)2sin(21)sin(2)cos(2)nnnn【答案】3cos【解析】原式sin()22sin()2sin(2)cos(2)nnnnsin()2sin()sin2sin3sincossincoscos【高清课堂：三角函数的概念xxxxxx例4】【变式3】求sin|cos|tan|sin|cos|tan|xxxxxx的值.【答案】当x为第一象限角时，值为3；当x为第二、三、四象限角时，值为-1.例4.证明sintantan(cossin)sincotcsc【解析】左边sinsinsin(cossin)coscos1cossinsin2sin(cossin)sincoscossincossin=cos右边【总结升华】证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法为（1）从一边开始证得另一边；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法．三角变化中还要注意使用“化弦法”.举一反三：【变式】证明1sin1costancot1cos1sin【解析】分析法：要证1sin1costancot1cos1sin成立，只要证22tan1coscot1sin成立只要证222sintancos成立因为上式是成立的，所以原式成立.类型三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想例5.已知3sin(3)2sin()2，求下列各式的值：（1）sin4cos;5sin2cos（2）2sinsin2【解析】方法一：由3sin(3)2sin()2可得sin2cos，即tan2，（1）原式tan42415tan25226.（2）原式222222sin2sincostan2tan8sin2sincossincostan15.方法二：由已知得sin2cos，（1）原式2cos4cos110cos2cos6.（2）原式22222222sin2sincossinsin8sin2sincos1sincos5sinsin4.【总结升华】已知tanm的条件下，求关于sin,cos的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点：1.一定是关于sin,cos的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.2.因为cos0，所以可以用*cos()nnN除之，这样可以将被求式化为关于tan的表达式，可整体代入tanm，从而完成被求式的求值运算.3.注意221sincos的应用.举一反三：【变式】已知tan2,则22sinsincos2cos（）4.3A5.4B3.4C4.5D【答案】D类型四、涉及sincos问题----平方关系的应用例6．已知1sincos5，且0．求sincos、sincos的值；【答案】1225；75【解析】方法一：由1sincos5可得：221sin2sincoscos25，即112sincos25，∴12sincos25∵1sincos5，12sincos25∴sin、cos是方程21120525xx的两根，∴4sin53cos5或3sin54cos5∵0，∴sin0，∴4sin5，3cos5，∴7sincos5方法二：由1sincos5可得：221sin2sincoscos25，即112sincos25，∴12sincos25∵0，∴sin0，∴cos0，∴sincos0由21249sincos12sincos122525（）∴7sincos5【总结升华】对于sincos,sincos,sincos这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值，如：2sincos12sincos（）；2sincos12sincos（）；22sincossincos2（）（）.举一反三：【变式】已知2sincos2，求2211sincos的值.【答案】16【解析】由2sincos2可得：221sin2sincoscos12sincos2；于是1sincos4，∴22222211sincos16sincossincos．