最简三角方程

6.5最简三角方程（2）上海市第四中学张云一、教学内容分析在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0，而且要关注此三角函数本身的条件限制．二、教学目标设计1．会解简单的三角方程（形如sincosAxBxC，2sinsinAxBxC，2sincosAxBxC等）．[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sinx、cosx的齐次式；（4）引入辅助角．２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．三、教学重点及难点重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计1．概念辨析已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：方程方程的解集sinxa1a1a2arcsin,xxkakZ1a(1)arcsin,kxxkakZcosxa1a1a2arccos,xxkakZ1a2arccos,xxkakZ巩固、反馈、总结、反思、作业合理选用变换方法将简单的三角方程化为最简的三角方程因式分解法化为sinx、cosx的齐次式引入辅助角应用举例（解简单的三角方程，及含有字母三角方程的实数解讨论）tanxaarctan,xxkakZ把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；（3）关于sinx、cosx的齐次方程，，通常化为关于tanx的方程。再用解代数方程的方法，转化为关于tanx最简的三角方程；（4）形如sincosaxbxc的方程，通常是引入辅助角，化原方程为22sin()abcx．当221abc时，方程有解．2．例题分析例1、解方程22sin3cos0xx．解原方程可化为22(1cos)3cos0xx，即22cos3cos20xx．解这个关于cosx的二次方程，得cos2x，1cos2x．由cos2x，得解集为；由1cos2x，得解集为22,3xxkkZ．所以原方程的解集为22,3xxkkZ．[说明]方程中的2sinx可化为21cosx，这样原方程便可看成以cosx为未知数的一元二次方程，当0时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例2、解方程2223sinsincoscos03xxxx．解一因为cos0x（使cos0x的x的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cosx，得223tantan103xx．解关于tanx的二次方程，得tan3x，3tan3x．由tan3x，得解集为,3xxkkZ；由3tan3x，得解集为,6xxkkZ．所以原方程的解集为,,36xxkxkkZ或．[说明]若方程的每一项关于sincosxx及的次数都是相同的（本题都是二次）,那么这样的方程叫做关于sincosxx及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解．解二降次得1cos231cos2sin20232xxx，化简得3sin2cos203xx．因为cos20x（使cos20x的x的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以cos2x，得tan23x．由tan23x，得2,3xkkZ，即,26kxkZ．所以原方程的解集为,26kxxkZ．[说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k是偶数2n时，26k变成n6；当k是奇数2n+1时，26k变成n3，所以实质上,,36xxkxkkZ或与,26kxxkZ是相等的集合．解三降次得1cos231cos2sin20232xxx，化简得3sin2cos203xx，即sin(2)03x，得2,3xkkZ，即,26kxkZ．所以原方程的解集为,26kxxkZ．[说明]一般说来，对于形如sincosaxbxc的三角方程，可先在方程的两边都除以22ab，然后引入辅助角，原方程变形为22sin()abcx．当221abc时，方程有解．例3、若方程cos22sin10xxm存在实数解，求m的取值范围．解一由原方程，得22sin2sin0xxm，即2sinsin02mxx解这个以sinx为未知数的一元二次方程，因为1sin1x要使方程有解，只需14()021102mm解得142m．所以m的取值范围为1,42．[说明]有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sinx为未知数的一元二次方程的0，而且必须考虑sinx的值在1,1内．解二由原方程得22sin2sin0xxm，得22112sin2sin2(sin)22mxxx因为1sin1x，所以142m．所以m的取值范围为1,42．[说明]当方程sin(xtt为常数）有解时，必须满足1t，则原题就转化为求2112(),1,122mtt的最大值、最小值问题．3．问题拓展例4、求方程sin2cos()xx的解集．解一由原方程得2sincoscosxxx，得cos0x，1sin2x．由cos0x，得解集为,2xxkkZ；由1sin2x，得解集为(1),6KxxkkZ．所以原方程的解集为(1),26KxxkxkkZ或．解二由原方程得sin2cosxx－，即3sin2sin()2xx得3222xkx或322()2xkx，即322xk或236kx，kZ．所以原方程的解集为322,236kxxkxkZ或．解三由原方程得sin2cosxx－，即cos(2)cos2xx得222xkx或222xkx，即22xk或236kx，kZ．所以原方程的解集为22,236kxxkxkZ或．[说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．（1）sinsin，则2k或2,kkZ；（2）coscos，则2k或2,kkZ；（3）tantan，则,kkZ．三、巩固练习1、解下列方程的解集：（1）22sin3cos30xx；（2）28sin5sin21xx．2、关于x的方程0cossin2kxx有实数解,求实数k的取值范围.3、求方程1cos(sin)2x的解集．4、已知函数2sin42cos2cos42sin)(2424xxxxxf，（1）化简)(xf，并求)625(f；（2）若0，0)2()(ff，求．四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。掌握基本方法与合理选用公式和变换方法是本节课的重点．含有字母三角方程的实数解讨论是本节课的难点．五、作业布置略