模式识别-孙即祥-第4章习题解

第四章习题解4.2设一维两类模式满足正态分布，它们的均值和方差分别为，1=0，1=2，2=2，2=2，p(x)N(,)，窗函数P(ω1)=P(ω2)，取0-1损失函数，试算出判决边界点，并绘出它们的概率密度函数曲线；试确定样本-3，-2，1，3，5各属哪一类。解：1x已知，由Bayes最小损失判决准则：如果，则判，否则判。如果，则判，否则判。-3，-2属于ω1；1，3，5属于ω2。4.7在图像识别中，假定有灌木丛和坦克两种类型，分别用ω1和ω2表示，它们的先验概率分别为0.7和0.3，损失函数如表3.1所示。现在做了四次试验，获得四个样本的类概率密度如下：：0.1，0.15，0.3，0.6x1x2x3x4x：0.8，0.7，0.55，0.3（1）试用贝叶斯最小误判概率准则判决四个样本各属于哪个类型；（2）假定只考虑前两种判决，试用贝叶斯最小风险准则判决四个样本各属于哪个类型；（3）将拒绝判决考虑在内，重新考核四次试验的结果。表3.1类型损失判决ω1ω21(判为ω1)0.52.02(判为ω2)4.01.03(拒绝判决)1.51.5解：（1）两类问题的Bayes最小误判概率准则为如果，则判，否则判。由已知数据，12=0.3/0.7=3/7，样本x1：∵l12（x1）=0.1/0.812=3/7x1ω2样本x2：∵l12（x2）=0.15/0.712=3/7x2ω2样本x3：∵l12（x3）=0.3/0.5512=3/7x3ω1样本x4：∵l12（x4）=0.6/0.312=3/7x4ω1（2）不含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为如果，则判，否则判。由已知数据，12=0.3（2-1）/[0.7（4-0.5）]=3/24.5，样本x1：∵l12（x1）=1/812=6/49x1ω1样本x2：∵l12（x2）=3/1412=6/49x2ω1样本x3：∵l12（x3）=6/1112=6/49x3ω1样本x4：∵l12（x4）=6/312=6/49x4ω1（3）含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为其中条件风险：后验概率：记(4.7-1)则，含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为对四个样本逐一列写下表，用(4.7-1)式计算r(j|x)。样本x1：(j|ωi)类型损失判决ω1p(x|ω1)P(ω1)=0.10.7=0.07ω2p(x|ω2)P(ω2)=0.80.3=0.24r(j|x)1(判为ω1)0.52.00.5*0.07+2*0.24=0.5152(判为ω2)4.01.04*0.07+1*0.24=0.523(拒绝判决)1.51.51.5*0.07+1.5*0.24=0.465因为r(3|x1)=0.465最小，所以拒绝判决；样本x2：(j|ωi)类型损失判决ω1p(x|ω1)P(ω1)=0.150.7=0.105ω2p(x|ω2)P(ω2)=0.70.3=0.21r(j|x)1(判为ω1)0.52.00.5*0.105+2*0.21=0.47252(判为ω2)4.01.04*0.105+1*0.21=0.633(拒绝判决)1.51.51.5*0.105+1.5*0.21=0.4725因为r(1|x2)=0.4725最小，所以判x2ω1，即灌木丛，或拒绝判决；样本x3：(j|ωi)类型损失判决ω1p(x|ω1)P(ω1)=0.30.7=0.21ω2p(x|ω2)P(ω2)=0.550.3=0.165r(j|x)1(判为ω1)0.52.00.5*0.21+2*0.165=0.4352(判为ω2)4.01.04*0.21+1*0.165=1.0053(拒绝判决)1.51.51.5*0.21+1.5*0.165=0.5625因为r(1|x3)=0.435最小，所以判x3ω1，即灌木丛；样本x4：(j|ωi)类型损失判决ω1p(x|ω1)P(ω1)=0.60.7=0.42ω2p(x|ω2)P(ω2)=0.30.3=0.09r(j|x)1(判为ω1)0.52.00.5*0.42+2*0.09=0.392(判为ω2)4.01.04*0.42+1*0.09=1.773(拒绝判决)1.51.51.5*0.42+1.5*0.09=0.765因为r(1|x4)=0.39最小，所以判x4ω1，即灌木丛。4.9假设两类二维正态分布参数为1=(-1，0)’，2=(1，0)’，先验概率相等。（1）令1=2=I，试给出负对数似然比判决规则；（2）令试给出负对数似然比判决规则。解：Bayes最小误判概率似然比判决规则为如果，则判，否则判。相应的负对数似然比判决规则为如果，则判，否则判。对于正态分布（1）由已知，故，如果则判，否则判。（2）∵，，即，补充题1：假设两类一维模式的概率密度函数为先验概率相等。（1）求Bayes判决函数（用0-1损失函数）；（2）求总的误判概率。解：（1）当用0-1损失函数且先验概率相等时，Bayes最小损失判决规则为：如果，则判，否则判。即，，则判，否则判。代入本题类概率密度函数得：如果x1.5，则判xω1，否则判xω2。故，Bayes判决函数为d(x)=1.5-x。（2）误判概率011.523x1p(x|ω1)p(x|ω2)补充题2：在目标识别中，假定类型1为敌方目标，类型2为诱饵（假目标），已知先验概率P(1)=0.2和P(2)=0.8，类概率密度函数如下：（1）求贝叶斯最小误判概率准则下的判决域，并判断样本x=1.5属于哪一类；（2）求总错误概率P(e)；（3）假设正确判断的损失11=22=0，误判损失分别为12和21，若采用最小损失判决准则，12和21满足怎样的关系时，会使上述对x=1.5的判断相反？解：（1）应用贝叶斯最小误判概率准则如果则判得l12(1.5)=1=4，故x=1.5属于2。（2）P(e)===0.08(3)两类问题的最小损失准则的似然比形式的判决规则为：如果则判带入x=1.5得到12≥421