固体物理02-晶体的对称性

对称性的概念：一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或图形)经过一定的空间操作（线性变换），整个物体（或图形）保持不变的性质。对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素：点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。1.5晶体的对称性不同几何形状的对称性1.旋转2.反射3.中心反演对称操作:对称操作与线性变换)',','(zyxX经过某一对称操作，把晶体中任一点变为可以用线性变换来表示。),,(zyxX{aij}矩阵为正交矩阵，保持任意两点间距离不变一个物体在某一正交变换下不变，称为这个变换为物体的一个对称操作EAAAATT正交矩阵(1)旋转对称(Cn)n2π若晶体绕某一固定轴转以后自身重合，则此轴称为n次旋转对称轴。绕z轴旋转θ角的正交矩阵1000cossin0sincos)(nCA(2)中心反演(Ci)取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点变为),,(zyx),,(zyx中心反演矩阵100010001)(iCA(3)镜像(m)如以Z=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点变为),,(zyx),,(zyx关于xy面的镜像矩阵100010001)(zmA(4)旋转--反演对称（Sn）n2π若晶体绕某一固定轴转以后，再经过中心反演,晶体自身重合，则此轴称为n次旋转--反演对称轴。1000cossin0sincos100010001(5)恒等操作（E）:保持晶体不动立方体对称性1.如(a)图所示3个对称轴，转动π/2，π，3π/2，共9个对称操作2.如(b)图所示6个面对角线，转动π，共6个对称操作3.如(c)图所示4个体对角线，转动2π/3，3π/4,共8个对称操作4.恒等操作5.以上每个操作都可以再加上中心反演共24╳2=48个对称操作正四面体对称性ABCD组成正四面体1.绕立方轴转π（3个）2.绕体对角线转2π/3，4π/3（8个）3.恒等操作4.绕立方轴转π/2，3π/2再加中心反演（6个）5.绕面对角线转π，再加中心反演（6个）共24个对称操作正六角柱对称性1.绕中心轴线转动π/3,2π/3,π,4π/3,5π/3,共5个对称操作2.绕A,B,C，轴转动π，共三个对称操作3.面心联线（虚线），轴转动π，共三个对称操作4.恒等操作5.以上操作加中心反演共24个对称操作对称素在说明一个物体的对称性时，为了简便，有时不去一一列举所有的对称操作，而是指出它的对称元素，若一个物体绕某一个转轴转以及它的倍数物体保持不变时，便称作n重旋转轴，记做；若一个物体绕某一转轴转再作反演以及转动它的倍数再作反演物体保持不变时，该轴称作n重旋转－反演轴，记做。nn黄昆书page23-24m2数学上看，群代表一组元素的集合G=｛E,A,B,C,D,……｝这些元素被赋予一定的乘法法则，满足下列性质：1.若A,B∈G则AB＝C∈G,这是群的闭合性。2.存在单位元素E,使所有元素满足：AE=A3.任意元素A，存在逆元素：AA-1=E4.元素间满足结合律：A(BC)=(AB)C对称操作群：一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的定义，运算法则是连续操作，不动操作是单位元素。群论群的几个例子•全体整数的加法构成一个群•全体非零实数的乘法构成一个群•晶体的平移操作•晶体的全部对称操作C=BA操作C等价于先对物体进行A操作，再做B操作。晶体点群晶体的外形（宏观）对称性是其原子做周期性排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操作后也应该保持不变，这就限制了晶体所可能有的点对操作数目，可以证明不论任何晶体，它的宏观对称元素只可能有以下10种对称素：6,4,3,2,1,6,4,3,2,1作业：证明晶体中不可能存在5重对称轴。由以上10种对称素组成的对称操作群，一般称为点群晶体中只有8种独立的对称元素：C1(1),C2(2),C3(3),C4(4),C6(6),Ci(i),σ(m)和S4()实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各种可能组合之一。由对称元素组合成对称操作群时，对称轴之间的夹角、对称轴的数目，都会受到严格的限制，例如，若有两个2重轴，它们之间的夹角只可能是30°，45°，60°，90°。可以证明总共只能有32种不同的组合方式，称为32种点群。每种晶体一定属于这32种点群之一，这是对晶体按对称性特点进行的第一步分类。4点群的Schönflies符号：主轴：Cn、Dn、Sn、T和OCn：n次旋转轴；Sn：n次旋转－反演轴；Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的n个二次轴T：四面体群；O：八面体群。脚标：h、v、dh：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面；v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面；d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。C1:晶体无任何对称性C2,C3,C4,C6:n重转动轴D2,D3,D4,D6:n重转动轴加上一个与之垂直的n个二次轴C2h,C3h,C4h,C6h:n重转动轴加上与转动轴垂直的反映面C2v,C3v,C4v,C6v:n重转动轴加上与n个与含转动轴的反映面C1h=Cs(一个对称面）D2h,D3h,D4h,D6h:D群加上与转动轴垂直的反映面D2d,D3d:D群加上垂直于主轴的两个二次轴的平分面镜面D2dD3d1.47大晶系立方四方正交三角单斜三斜六角立方四方正交三角单斜六角三斜对称性的重要性Neumann定理：晶体的任一宏观物理性质一定具有它所属点群的一切对称性。因而点群的对称性将会大大减少独立张量元的数目。通常，可以通过选择坐标轴为主轴，使张量对角化来达到。例如选择6重轴为z轴的话，六角晶系晶体的介电常数可以用2个参量表示。立方晶系只需要一个参量表示。举例:介电常数，电极化P空间群空间群：晶格的全部对称操作构成空间群，包括平移，转动，反演，镜面。空间群分为两类：1.简单空间群（点空间群）2.复杂空间群（非点空间群）点空间群=平移群+点群操作(R|tl1,l2,l3)简单晶格具有的空间群（73种点空间群）2.复杂空间群（非点空间群）复式晶格中如有性质相同的原子，它们的空间群有时可以是复杂的空间群。如金刚石结构(R|t)不同的空间群总共有230种3,2,1llltτtRRτ滑移非点空间群操作闪锌矿结构金刚石结构C，Si，Ge等IV族元素InAs，GaAs，InP等III-V族元素化合物闪锌矿结构1.6非晶与准晶•晶体：周期性排列，长程序•非晶：不具有周期性，无长程序，但有短程序水晶玻璃晶体与非晶材料径向分布函数(RDF)对比drrrrJ)(4)(2准晶•1982年，以色列科学家Shechtman在急冷Al6Mn合金中发现五次对称衍射图，与传统的晶体材料衍射图样完全不同（晶体中只存在2，3，4，6次转动轴）。•开始被认为是挛晶，但后来认识到是一种新的固体形式•2011年10月5日，诺贝尔化学奖授予了Shechtman，表彰他上个世纪80年代发现了准晶，拓展了整个晶体学界的知识域准晶是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶体具有与晶体相似的长程有序的原子排列；但是准晶体不具备晶体的平移对称性。根据晶体局限定理（crystallographicrestrictiontheorem），普通晶体只能具有二次、三次、四次或六次旋转对称性，但是准晶的布拉格衍射图具有其他的对称性，例如五次对称性或者更高的如六次以上的对称性银铝合金准晶的原子模型二维空间的Penrose拼图5重轴3重轴2重轴作业11.写出体心立方和面心立方晶格的原胞基矢2.画出立方晶格的(100),(110),(111),(-1,11)和(211)面。3.利用对称性推导立方晶格的介电常数张量形式4.证明晶体中不存在5重对称轴